Логический элемент не

Содержание

Логические элементы и таблицы истинности

Абсолютно все цифровые микросхемы состоят из одних и тех же логических элементов – «кирпичиков» любого цифрового узла. Вот о них мы и поговорим сейчас.

Логический элемент – это такая схемка, у которой несколько входов и один выход. Каждому состоянию сигналов на входах, соответствует определенный сигнал на выходе.

Итак, какие бывают элементы?

Элемент «И» (AND)

Иначе его называют «конъюнктор».

Для того, чтобы понять как он работает, нужно нарисовать таблицу, в которой будут перечислены состояния на выходе при любой комбинации входных сигналов. Такая таблица называется «таблица истинности». Таблицы истинности широко применяются в цифровой технике для описания работы логических схем.

Вот так выглядит элемент «И» и его таблица истинности:

Поскольку вам придется общаться как с русской, так и с буржуйской тех. документацией, я буду приводить условные графические обозначения (УГО) элементов и по нашим и по не нашим стандартам.

Смотрим таблицу истинности, и проясняем в мозгу принцип. Понять его не сложно: единица на выходе элемента «И» возникает только тогда, когда на оба входа поданы единицы. Это объясняет название элемента: единицы должны быть И на одном, И на другом входе.

Если посмотреть чуток иначе, то можно сказать так: на выходе элемента «И» будет ноль в том случае, если хотя бы на один из его входов подан ноль. Запоминаем. Идем дальше.

Элемент «ИЛИ» (OR)

По другому, его зовут «дизъюнктор».

Любуемся:

Опять же, название говорит само за себя.

На выходе возникает единица, когда на один ИЛИ на другой ИЛИ на оба сразу входа подана единица. Этот элемент можно назвать также элементом «И» для негативной логики: ноль на его выходе бывает только в том случае, если и на один и на второй вход поданы нули.

Едем дальше. Дальше у нас очень простенький, но очень необходимый элемент.

Элемент «НЕ» (NOT)

Чаще, его называют «инвертор».

Надо чего-нибудь говорить по поводу его работы?

Ну тогда поехали дальше. Следующие два элемента получаются путем установки инвертора на выход элементов «И» и «ИЛИ».

Элемент «И-НЕ» (NAND)

Элемент И-НЕ работает точно так же как «И», только выходной сигнал полностью противоположен. Там где у элемента «И» на выходе должен быть «0», у элемента «И-НЕ» — единица. И наоборот. Э то легко понять по эквивалентной схеме элемента:

Элемент «ИЛИ-НЕ» (NOR)

Та же история – элемент «ИЛИ» с инвертором на выходе.

Следующий товарищ устроен несколько хитрее:
Элемент «Исключающее ИЛИ» (XOR)

Он вот такой:

Операция, которую он выполняет, часто называют «сложение по модулю 2». На самом деле, на этих элементах строятся цифровые сумматоры.

Смотрим таблицу истинности. Когда на выходе единицы? Правильно: когда на входах разные сигналы. На одном – 1, на другом – 0. Вот такой он хитрый.

Эквивалентная схема примерно такая:

Ее запоминать не обязательно.

Собственно, это и есть основные логические элементы. На их основе строятся абсолютно любые цифровые микросхемы. Даже ваш любимый Пентиум 4.

Далее мы позанудствуем о том, как синтезировать цифровую схему, имея ее таблицу истинности. Это совсем несложно, а знать надо, ибо пригодится (еще как пригодится) нам в дальнейшем.

Ну и напоследок – несколько микросхем, внутри которых содержатся цифровые элементы. Около выводов элементов обозначены номера соответствующих ног микросхемы. Все микросхемы, перечисленные здесь, имеют 14 ног. Питание подается на ножки 7 (-) и 14 (+). Напряжение питания – смотри в таблице в предыдущем параграфе.

Логические элементы

Логические элементы — устройства, предназначенные для обработки информации в цифровой форме (последовательности сигналов высокого — «1» и низкого — «0» уровней в двоичной логике, последовательность «0», «1» и «2» в троичной логике, последовательностями «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8» и «9» в десятичной логике). Физически логические элементы могут быть выполнены механическими, электромеханическими (на электромагнитных реле), электронными (на диодах и транзисторах), пневматическими, гидравлическими, оптическими и др.

С развитием электротехники от механических логических элементов перешли к электромеханическим логическим элементам (на электромагнитных реле), а затем к электронным логическим элементам на электронных лампах, позже — на транзисторах. После доказательства в 1946 г. теоремы Джона фон Неймана об экономичности показательных позиционных систем счисления стало известно о преимуществах двоичной и троичной систем счисления по сравнению с десятичной системой счисления. От десятичных логических элементов перешли к двоичным логическим элементам. Двоичность и троичность позволяет значительно сократить количество операций и элементов, выполняющих эту обработку, по сравнению с десятичными логическими элементами.

Логические элементы выполняют логическую функцию (операцию) над входными сигналами (операндами, данными).

Всего возможно x ( x n ) ∗ m {\displaystyle \ x^{(x^{n})*m}} логических функций и соответствующих им логических элементов, где x {\displaystyle \ x} — основание системы счисления, n {\displaystyle \ n} — число входов (аргументов), m {\displaystyle \ m} — число выходов, то есть бесконечное число логических элементов. Поэтому в данной статье рассматриваются только простейшие и важнейшие логические элементы.

Всего возможны 2 ( 2 2 ) ∗ 1 = 2 4 = 16 {\displaystyle 2^{(2^{2})*1}=2^{4}=16} двоичных двухвходовых логических элементов и 2 ( 2 3 ) ∗ 1 = 2 8 = 256 {\displaystyle 2^{(2^{3})*1}=2^{8}=256} двоичных трёхвходовых логических элементов (Булева функция).

Кроме 16 двоичных двухвходовых логических элементов и 256 трёхвходовых двоичных логических элементов возможны 19 683 двухвходовых троичных логических элементов и 7 625 597 484 987 трёхвходовых троичных логических элементов (троичные функции).

Двоичные логические операции с цифровыми сигналами (битовые операции)

Логические операции (булева функция) своё теоретическое обоснование получили в алгебре логики.

Логические операции с одним операндом называются унарными, с двумя — бинарными, с тремя — тернарными (триарными, тринарными) и т. д.

Из 2 ( 2 1 ) = 2 2 = 4 {\displaystyle 2^{(2^{1})}=2^{2}=4} возможных унарных операций с унарным выходом интерес для реализации представляют операции отрицания и повторения, причём, операция отрицания имеет большую значимость, чем операция повторения, так как повторитель может быть собран из двух инверторов, а инвертор из повторителей не собрать.

Отрицание, НЕ

Инвертор, НЕ (IEC)Инвертор, НЕ (ANSI)

A {\displaystyle A} ¬ A {\displaystyle A}
0 1
1 0

Мнемоническое правило для отрицания звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда на входе «0»,
  • «0» тогда и только тогда, когда на входе «1»

Повторение

Повторитель (буфер)

A {\displaystyle A} A {\displaystyle A}
0 0
1 1

Преобразование информации требует выполнения операций с группами знаков, простейшей из которых является группа из двух знаков. Оперирование с большими группами всегда можно разбить на последовательные операции с двумя знаками.

Из 2 ( 2 2 ) = 2 4 = 16 {\displaystyle 2^{(2^{2})}=2^{4}=16} возможных бинарных логических операций с двумя знаками c унарным выходом интерес для реализации представляют 10 операций, приведённых ниже.

Конъюнкция (логическое умножение). Операция И

И (IEC)И (ANSI)

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ∧ B {\displaystyle A\land B}
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется схемой совпадения. Мнемоническое правило для конъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда на всех входах действуют «1»,
  • «0» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «0»

Словесно эту операцию можно выразить следующим выражением: «Истина на выходе может быть при истине на входе 1 И истине на входе 2».

Дизъюнкция (логическое сложение). Операция ИЛИ

ИЛИ (IEC)ИЛИ (ANSI)

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ∨ B {\displaystyle A\lor B}
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «1»,
  • «0» тогда и только тогда, когда на всех входах действуют «0»

Инверсия функции конъюнкции. Операция И-НЕ (штрих Шеффера)

И-НЕ (IEC) И-НЕ (ANSI)

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A | B {\displaystyle A|B}
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Мнемоническое правило для И-НЕ с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «0»,
  • «0» тогда и только тогда, когда на всех входах действуют «1»

Инверсия функции дизъюнкции. Операция ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса)

В англоязычной литературе NOR.

ИЛИ-НЕ (IEC) ИЛИ-НЕ (ANSI)

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} ↓ B {\displaystyle B}
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

Мнемоническое правило для ИЛИ-НЕ с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда на всех входах действуют «0»,
  • «0» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «1»

Эквивалентность (равнозначность), ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ_ИЛИ-НЕ

ИСКЛ-ИЛИ-НЕ (IEC) ИСКЛ-ИЛИ-НЕ (ANSI)

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} ↔ B {\displaystyle B}
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Мнемоническое правило эквивалентности с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда на входе действует чётное количество,
  • «0» тогда и только тогда, когда на входе действует нечётное количество

Словесная запись: «истина на выходе при истине на входе 1 и входе 2 или при лжи на входе 1 и входе 2».

Сложение (сумма) по модулю 2 (Исключающее_ИЛИ, неравнозначность). Инверсия равнозначности.

ИСКЛ-ИЛИ (IEC) ИСКЛ-ИЛИ (ANSI)

В англоязычной литературе XOR.

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B}
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Мнемоническое правило для суммы по модулю 2 с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда на входе действует нечётное количество ,
  • «0» тогда и только тогда, когда на входе действует чётное количество

Словесное описание: «истина на выходе — только при истине на входе 1, либо только при истине на входе 2».

Импликация от A к B (прямая импликация, инверсия декремента, A<=B)

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} → B {\displaystyle B}
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Мнемоническое правило для инверсии декремента звучит так: На выходе будет:

  • «0» тогда и только тогда, когда на «B» меньше «А»,
  • «1» тогда и только тогда, когда на «B» больше либо равно «А»

Импликация от B к A (обратная импликация, инверсия инкремента, A>=B)

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} B {\displaystyle B} → A {\displaystyle A}
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1

Мнемоническое правило для инверсии инкремента звучит так: На выходе будет:

  • «0» тогда и только тогда, когда на «B» больше «А»,
  • «1» тогда и только тогда, когда на «B» меньше либо равно «А»

Декремент. Запрет импликации по B. Инверсия импликации от A к B

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} f ( A , B ) {\displaystyle f(A,B)}
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0

Мнемоническое правило для инверсии импликации от A к B звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда на «A» больше «B»,
  • «0» тогда и только тогда, когда на «A» меньше либо равно «B»

Инкремент. Запрет импликации по A. Инверсия импликации от B к A

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} f ( A , B ) {\displaystyle f(A,B)}
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 0

Мнемоническое правило для инверсии импликации от B к A звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда на «B» больше «A»,
  • «0» тогда и только тогда, когда на «B» меньше либо равно «A»

Примечание 1. Элементы импликаций не имеют промышленных аналогов для функций с количеством входов, не равным 2.
Примечание 2. Элементы импликаций не имеют промышленных аналогов.

Этими простейшими логическими операциями (функциями), и даже некоторыми их подмножествами, можно выразить любые другие логические операции. Такой набор простейших функций называется функционально полным логическим базисом. Таких базисов 4:

  • И, НЕ (2 элемента)
  • ИЛИ, НЕ (2 элемента)
  • И-НЕ (1 элемент)
  • ИЛИ-НЕ (1 элемент).

Для преобразования логических функций в один из названых базисов необходимо применять Закон (правило) де-Моргана.

Классификация электронных транзисторных физических реализаций логических элементов

Логические элементы подразделяются и по типу использованных в них электронных элементов. Наибольшее применение в настоящее время находят следующие логические элементы:

  • РТЛ (резисторно-транзисторная логика)
  • ДТЛ (диодно-транзисторная логика)
  • ТТЛ (транзисторно-транзисторная логика)

Упрощённая схема двухвходового элемента И-НЕ ТТЛ .

Обычно входной каскад логических элементов ТТЛ представляет собой простейшие компараторы, которые могут быть выполнены различными способами (на многоэмиттерном транзисторе или на диодной сборке). В логических элементах ТТЛ входной каскад, кроме функций компараторов, выполняет и логические функции. Далее следует выходной усилитель с двухтактным (двухключевым) выходом.

В логических элементах КМОП входные каскады также представляют собой простейшие компараторы. Усилителями являются КМОП-транзисторы. Логические функции выполняются комбинациями параллельно и последовательно включенных ключей, которые одновременно являются и выходными ключами.

Транзисторы могут работать в инверсном режиме, но с меньшим коэффициентом усиления. Это свойство используется в ТТЛ многоэмиттерных транзисторах. При подаче на оба входа сигнала высокого уровня (1,1) первый транзистор оказывается включённым в инверсном режиме по схеме эмиттерного повторителя с высоким уровнем на базе, транзистор открывается и подключает базу второго транзистора к высокому уровню, ток идёт через первый транзистор в базу второго транзистора и открывает его. Второй транзистор «открыт», его сопротивление мало и на его коллекторе напряжение соответствует низкому уровню (0). Если хотя бы на одном из входов сигнал низкого уровня (0), то транзистор оказывается включённым по схеме с общим эмиттером, через базу первого транзистора на этот вход идёт ток, что открывает его и он закорачивает базу второго транзистора на землю, напряжение на базе второго транзистора мало и он «закрыт», выходное напряжение соответствует высокому уровню. Таким образом, таблица истинности соответствует функции 2И-НЕ.

  • ТТЛШ (то же с диодами Шоттки)

Для увеличения быстродействия логических элементов в них используются транзисторы Шоттки (транзисторы с диодами Шоттки), отличительной особенностью которых является применение в их конструкции выпрямляющего контакта металл-полупроводник вместо p-n перехода. При работе этих приборов отсутствует инжекция неосновных носителей и явления накопления и рассасывания заряда, что обеспечивает высокое быстродействие. Включение этих диодов параллельно коллекторному переходу блокирует насыщение выходных транзисторов, что увеличивает напряжения логических 0 и 1, но уменьшает потери времени на переключение логического элемента при том же потребляемом токе (или позволяет уменьшить потребляемый ток при сохранении стандартного быстродействия). Так, серия 74хх и серия 74LSxx имеют приблизительно равное быстродействие (в действительности, серия 74LSxx несколько быстрее), но потребляемый от источника питания ток меньше в 4-5 раз (во столько же раз меньше и входной ток логического элемента).

  • КМОП (логика на основе комплементарных ключей на МОП транзисторах)
  • ЭСЛ (эмиттерно-связанная логика)

Эта логика, иначе называемая логикой на переключателях тока, построена на базе биполярных транзисторов, объединённых в дифференциальные каскады. Один из входов обычно подключён внутри микросхемы к источнику опорного (образцового) напряжения, примерно посредине между логическими уровнями. Сумма токов через транзисторы дифференциального каскада постоянна, в зависимости от логического уровня на входе изменяется лишь то, через какой из транзисторов течёт этот ток. В отличие от ТТЛ, транзисторы в ЭСЛ работают в активном режиме и не входят в насыщение или инверсный режим. Это приводит к тому, что быстродействие ЭСЛ-элемента при той же технологии (тех же характеристиках транзисторов) гораздо больше, чем ТТЛ-элемента, но больше и потребляемый ток. К тому же, разница между логическими уровнями у ЭСЛ-элемента намного меньше, чем у ТТЛ (меньше вольта), и, для приемлемой помехоустойчивости, приходится использовать отрицательное напряжение питания (а иногда и применять для выходных каскадов второе питание). Зато максимальные частоты переключения триггеров на ЭСЛ более, чем на порядок превышают возможности современных им ТТЛ, например, серия К500 обеспечивала частоты переключения 160—200 МГц, по сравнению с 10-15 МГц современной ей ТТЛ серии К155. В настоящее время и ТТЛ(Ш), и ЭСЛ практически не используются, так как с уменьшением проектных норм КМОП технология достигла частот переключения в несколько гигагерц.

Инвертор

Одним из основных логических элементов является инвертор. Инвертирующими каскадами являются однотранзисторный каскад с общим эмиттером, однотранзисторный каскад с общим истоком, двухтранзисторный двухтактный выходной каскад на комплементарных парах транзисторов с последовательным включением транзисторов по постоянному току (применяется в ТТЛ и КМОП), двухтранзисторный дифференциальный каскад с параллельным включением транзисторов по постоянному току (применяется в ЭСЛ) и др. Но одного условия инвертирования недостаточно для применения инвертирующего каскада в качестве логического инвертора. Логический инвертор должен иметь смещённую рабочую точку на один из краёв проходной характеристики, что делает каскад неустойчивым в середине диапазона входных величин и устойчивым в крайних положениях (закрыт, открыт). Такой характеристикой обладает компаратор, поэтому логические инверторы строят как компараторы, а не как гармонические усилительные каскады с устойчивой рабочей точкой в середине диапазона входных величин. Таких каскадов, как и контактных групп реле, может быть два вида: нормально закрытые (разомкнутые) и нормально открытые (замкнутые).

Исключающее ИЛИ

Сложение по модулю 2

Исключающее ИЛИ, XOR


Диаграмма Венна

Таблица истинности

( 0110 ) {\displaystyle (0110)}

Логический вентиль

Нормальные формы

Дизъюнктивная

x ¯ ⋅ y + x ⋅ y ¯ {\displaystyle {\overline {x}}\cdot y+x\cdot {\overline {y}}}

Конъюнктивная

( x ¯ + y ¯ ) ⋅ ( x + y ) {\displaystyle ({\overline {x}}+{\overline {y}})\cdot (x+y)}

Полином Жегалкина

x ⊕ y {\displaystyle x\oplus y}

Принадлежность предполным классам

Сохраняет 0

Да

Сохраняет 1

Нет

Монотонна

Нет

Линейна

Да

Самодвойственна

Нет

График побитового исключающего «или»

Сложе́ние по мо́дулю 2 (исключа́ющее «или», XOR, строгая дизъюнкция, поразрядное дополнение, инвертирование по маске, жегалкинское сложение, логическое вычитание, логи́ческая неравнозна́чность) — булева функция, а также логическая и битовая операция, в случае двух переменных результат выполнения операции истинен тогда и только тогда, когда один из аргументов истинен, а второй — ложен. Для функции трёх (тернарное сложение по модулю 2) и более переменных — результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов, равных 1, составляющих текущий набор, — нечётное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Сложение по модулю 2 называется «исключающим „или“» и «строгой дизъюнкцией» для отличения от «обычного» (неисключающего) логического «или» — нестрогой логической дизъюнкции. В теории множеств сложению по модулю 2 соответствует операция симметрической разности двух множеств.

Булева алгебра

В булевой алгебре сложение по модулю 2 — это функция двух, трёх и более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} . Результат также принадлежит множеству { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0 , 1 {\displaystyle 0,1} может использоваться любая другая пара подходящих символов, например f a l s e , t r u e {\displaystyle false,true} или F , T {\displaystyle F,T} или «ложь», «истина», но при этом необходимо доопределять старшинство, например, t r u e > f a l s e {\displaystyle true>false} .

Таблицы истинности:

  • для бинарного сложения по модулю 2 (применяется в двоичных полусумматорах):
a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a ⊕ b {\displaystyle a\oplus b}
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 0

Правило: результат равен 0 {\displaystyle 0} , если оба операнда равны; во всех остальных случаях результат равен 1 {\displaystyle 1} .

  • для тернарного сложения по модулю 2 (применяется в двоичных полных сумматорах):

Правило: результат равен 0 {\displaystyle 0} , если нет операндов, равных 1 {\displaystyle 1} , либо их чётное количество.

Программирование

В языках C/C++, Java, C#, Ruby, PHP, JavaScript, Python и т. д. битовая операция поразрядного дополнения обозначается символом «^», в языках Паскаль, Delphi, Ada, Visual Basic — зарезервированным словом xor, в языке ассемблера — одноимённой логической командой. При этом сложение по модулю 2 выполняется для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если

a = 01100101 2 {\displaystyle a=01100101_{2}}

b = 00101001 2 {\displaystyle b=00101001_{2}}

то

a ^ b = 01001100 2 {\displaystyle a{\hat {\ }}b=01001100_{2}}

Выполнение операции исключающее «или» для значений логического типа (true, false) производится в разных языках программирования по-разному. Например, в Delphi используется встроенный оператор XOR (пример: условие1 xor условие2). В языке C, начиная со стандарта C99, оператор «^» над операндами логического типа возвращает результат применения логической операции XOR. В С++ оператор «^» для логического типа bool возвращает результат согласно описанным правилам, для остальных же типов производится его побитовое применение.

Использование побитового исключающего «или» позволяет поменять местами значения целых переменных без использования дополнительной памяти.

Связь с естественным языком

В естественном языке операция «сложение по модулю» эквивалентна двум выражениям:

  1. «результат истинен (равен 1), если A не равно B (A≠B)»;
  2. «если A не равно B (A≠B), то истина (1)».

Часто указывают на сходство между сложением по модулю 2 и конструкцией «либо … либо …» в естественном языке. Составное утверждение «либо A, либо B» считается истинным, когда истинно либо A, либо B, но не оба сразу; в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению операции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как 1 {\displaystyle 1} , а «ложь» как 0 {\displaystyle 0} .

Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:

  1. A ∨ B {\displaystyle A\lor B} истинно, если истинно A {\displaystyle A} или B {\displaystyle B} , или оба сразу («хотя бы один из двух»).
  2. A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} истинно, если истинно A {\displaystyle A} или B {\displaystyle B} , но не оба сразу («только один из двух»).

Операция ⊕ {\displaystyle \oplus } исключает последний вариант («оба сразу») и по этой причине называется исключающим «ИЛИ». Операция ∨ {\displaystyle \lor } включает последний вариант («оба сразу») и по этой причине иногда называется включающим «ИЛИ». Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» может применяться в обоих случаях.

> Квантовые вычисления

В квантовых компьютерах аналог операции сложения по модулю 2 — вентиль CNOT.

  • Алгебра логики и цифровые компьютеры: Функция сложения по модулю 2 (xor)
В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.

Логический элемент – это электронное устройство, реализующее одну из логических операций. Если значение функции на выходе элемента однозначно определяется комбинацией входных переменных в данный момент времени, то элемент относится к комбинационной логике.

На принципиальной схеме логический элемент изображают прямоугольником (по российской системе ЕСКД и европейской DIN), внутри которого ставится изображение указателя функции. Обычно линии с левой стороны прямоугольника показывают входы, с правой – выходы элемента. Если окружностью обозначен выход, то элемент производит логическое отрицание (инверсию) результата операции, указанной внутри прямоугольника.

Хотя любое цифровое устройство и может быть построено из логических элементов одного типа, например И-НЕ либо ИЛИ‑НЕ, на практике редко ограничиваются одним типом элементов .

В таблице 4.1 представлены основные логические элементы, используемые в цифровых устройствах.

Рассмотрим устройство и принцип работы базовых логических элементов наиболее распространенных типов цифровых микросхем.

Базовый элемент транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ).На рис. 4.1, а показана схема логического элемента И-НЕ ТТЛ с многоэмиттерным транзистором VT1 на входе (его отличие заключается в том, что инжекция носителей заряда в базу осуществляется через несколько самостоятельных эмиттерных р‑n-переходов) и простым однотранзисторным ключем на выходе.Принцип действия этой схемы при различных входных сигналах показан на рис. 4.1, б, в, г.

Таблица 4.1

Логическая функция Обозначение в DIN-стандарте Обозначение в ANSI-стандарте Таблица истинности
Инвертор (НЕ)
X Y
И
A B Y
И-НЕ
A B Y
ИЛИ
A B Y
ИЛИ-НЕ
A B Y
ИСКЛЮЧА-ЮЩЕЕ ИЛИ
A B Y

Как следует из рис. 4.1, б, логическая единица ,поступившая на входы VT1,запирает все эмиттерные переходы. Ток, текущий через резистор Rб, замкнется через открытые
р-n‑переходы – коллекторный VT1и эмиттерный VT2.Этот ток откроет транзистор VT2,и напряжение на его выходе станет близким к нулю, т. е. (рис. 4.1, б). Если же на все или хотя бы на один вход VT1будет подан сигнал (рис. 4.1, в, г),то ток, текущий по Rб,замкнется через открытый эмиттерный переход VT1.При этом входной ток VT2будет близок к нулю, и выходной транзистор окажется запертым, т. е. . Таким образом, в рассмотренной схеме осуществляется логическая операция И-НЕ Следует отметить, что если входы транзистора VT2оставить свободными и не подключать к источнику сигнала, то это будет воспринято элементом как наличие логических 1 на его входах. Ток, текущий через Rб, в этом случае откроет VT2,и на его выходе появится сигнал . Рассмотренная схема базового элемента ТТЛ с простым инвертором находит ограниченное применение только в качестве схемы с открытым коллектором. В этих схемах RK внутри микросхемы отсутствует и нагрузкой ключа является внешний потребитель: элемент индикации (лампочка, светодиод) или исполнительное устройство (электромагнит, реле и пр.).

Рис. 4.1. Принцип действия элемента И-НЕ на базе ТТЛ

Улучшающим свойства ТТЛ микросхем, является введение в них диодов Шоттки, имеющих структуру металл–полупроводник. Эти диоды шунтируют коллекторные переходы ключевых транзисторов, предотвращая их насыщение. Благодаря этому время задержки распространения сигнала уменьшается почти в три раза. ИМС с диодами Шоттки сейчас повсеместно вытесняют микросхемы, выполненные по обычной ТТЛ технологии.

Базовый элемент на КМОП структурах. Структура из двух комплементарных МОП-транзисторов, являющаяся идеальным переключателем напряжения, положена в основу базовых элементов И-НЕ (рис. 4.2, а) и ИЛИ-НЕ (рис. 4.2, б).Как видно из этих схем, для реализации функции И-НЕ используется параллельное включение транзисторов р-типа и последовательное (каскадное) включение транзисторов n-типа. При этом каждый входной сигнал подается на пару транзисторов с каналами различной проводимости. Так, переменная Х1 поступает на транзисторы VT1 и VT4, Х2 на VT2 и VT5, Х3 на VT3 и VT6. При поступлении на все входы сигналов логической единицы Х1=Х2=Х3=U1вхзакроются все транзисторы р-типа
(VT1,…, VT3) и откроются транзисторы с каналом n-типа
(VT4, …, VT6).В результате выход элемента соединится с общим проводом и выходное напряжение станет равно U0вых. Если же напряжение хотя бы на одном из входов, например Х1,останется низкого уровня, то закроется n-канальный транзистор VT4 и откроется р‑канальный транзистор VT1,через который выход элемента подключится к источнику питания. Таким образом, на выходе будет напряжение высокого уровня, соответствующее логической единице.

Рис. 4.2. Реализация базовых элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ на базе КМОП

Для реализации базового элемента ИЛИ-НЕ (рис. 4.2, б) необходимо поменять местами параллельные и последовательные участки схемы и заменить в каждой группе (параллельной и последовательной) транзисторы с каналами одного типа на транзисторы с каналами противоположного типа проводимости.

Прочие типы базовых элементов.Микросхемы, выполненные по ТТЛ и КМОП технологии, обладают хорошими эксплуатационными показателями и поэтому получили наиболее широкое распространение. Однако в настоящее время применяют и другие типы микросхем. Например, там, где требуется повышенное быстродействие, находят применение микросхемы, выполненные по ЭСЛ технологии. Это микросхемы на п‑р‑n‑транзисторах с общим проводом, соединенным с коллекторными цепями. Большое быстродействие достигается за счет работы транзисторов в активном режиме без перехода в режим насыщения. Однако работа в активном режиме приводит к резкому уменьшению помехоустойчивости и значительному увеличению потребляемой мощности.

Еще одним направлением биполярной логики является использование технологии интегральной инжекционной логики – И2Л. Базовый элемент этой логики содержит два биполярных транзистора различной структуры (п-р-п и р-п-р)и диоды Шоттки. Такие элементы при очень малой потребляемой мощности обладают достаточно высоким быстродействием. Кроме того, этот элемент занимает на кристалле очень маленькую площадь, что позволяет создавать микросхемы высокой степени интеграции.

В заключение параграфа приведем таблицу основных параметров базовых логических двухвходовых элементов широко распространенных и перспективных типов (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Параметры наиболее распространенных логических элементов

Параметр ТТЛ ТТЛШ КМОП ЭСЛ И2Л
Предельная частота сигналов, МГц 1…5
Потребляемая мощность, мВт 2…20 0,001 25…40 0,2
Напряжение питания, Еп, В 5±5% 5±5% 3…15 — 5,2±5%
Уровень логического 0, В 0,4 0,5 < 0,1 – 1,65
Уровень логической 1, В 2,4 2,7 ~ Еп – 0,96
Площадь, занимаемая элементом, 10-3 мм2 12…38 6…19 12…31 2,5…3,7
Наиболее распространенные серии К155, К131 К555, К531 К176 К561 К500, К100 – –

4.2. Функциональные
узлы комбинационного типа

В данной статье расскажем что такое логические элементы, рассмотрим самые простые логические элементы.

Любое цифровое устройство — персональный компьютер, или современная система автоматики состоит из цифровых интегральных микросхем (ИМС), которые выполняют определённые сложные функции. Но для выполнения одной сложной функции необходимо выполнить несколько простейших функций. Например, сложение двух двоичных чисел размером в один байт происходит внутри цифровой микросхемы называемой «процессор» и выполняется в несколько этапов большим количеством логических элементов находящихся внутри процессора. Двоичные числа сначала запоминаются в буферной памяти процессора, потом переписываются в специальные «главные» регистры процессора, после выполняется их сложение, запоминание результата в другом регистре, и лишь после результат сложения выводится через буферную память из процессора на другие устройства компьютера.

Процессор состоит из функциональных узлов: интерфейсов ввода-вывода, ячеек памяти – буферных регистров и «аккумуляторов», сумматоров, регистров сдвига и т.д. Эти функциональные узлы состоят из простейших логических элементов, которые, в свою очередь состоят из полупроводниковых транзисторов, диодов и резисторов. При конструировании простых триггерных и других электронных импульсных схем, сложные процессоры не применить, а использовать транзисторные каскады – «прошлый век». Тут и приходят на помощь – логические элементы.

Логические элементы, это простейшие «кубики», составные части цифровой микросхемы, выполняющие определённые логические функции. При этом, цифровая микросхема может содержать в себе от одного, до нескольких единиц, десятков, …и до нескольких сотен тысяч логических элементов в зависимости от степени интеграции. Для того, чтобы разобраться, что такое логические элементы, мы будем рассматривать самые простейшие из них. А потом, наращивая знания, разберёмся и с более сложными цифровыми элементами.

Начнём с того, что единица цифровой информации это «один бит». Он может принимать два логических состояния – логический ноль «0», когда напряжение равно нулю (низкий уровень), и состояние логической единицы «1», когда напряжение равно напряжению питания микросхемы (высокий уровень).

Поскольку простейший логический элемент это электронное устройство, то это означает, что у него есть входы (входные выводы) и выходы (выходные выводы). И входов и выходов может быть один, а может быть и больше.

Для того, чтобы понять принципы работы простейших логических элементов используется «таблица истинности». Кроме того, для понимания принципов работы логических элементов, входы, в зависимости от их количества обозначают: Х1, Х2, … ХN, а выходы: Y1, Y2, … YN.

Функции, выполняемые простейшими логическими элементами, имеют названия. Как правило, впереди функции ставится цифра, обозначающая количество входов. Простейшие логические элементы всегда имеют лишь один выход.

Рассмотрим простейшие логические элементы

— «НЕ» (NOT) – функция отрицания (инверсии сигнала). Потому его чаще называют — «инвертор». Графически, инверсия обозначается пустым кружочком вокруг вывода элемента (микросхемы). Обычно кружок инверсии ставится у выхода, но в более сложных логических элементах, он может стоять и на входе. Графическое обозначение элемента «НЕ» и его таблица истинности представлены на рисунке слева.

У элемента «НЕ» всегда один вход и один выход. По таблице истинности следует, что при наличии на входе элемента логического нуля, на выходе будет логическая единица. И наоборот, при наличии на входе логической единицы, на выходе будет логический ноль. Цифра «1» внутри прямоугольника обозначает функцию «ИЛИ», её принято рисовать и внутри прямоугольника элемента «НЕ», но это ровным счётом ничего абсолютно не значит.

Обозначение D1.1 означает, что D — цифровой логический элемент, 1 (первая) — номер микросхемы в общей схеме, 1 (вторая) — номер элемента в микросхеме. Точно также расшифровываются и другие логические элементы.

Часто, чтобы отличить цифровые микросхемы от аналоговых микросхем, применяют обозначения из двух букв: DD – цифровая микросхема, DA – аналоговая микросхема. В последующем, мы не будем заострять внимание на это обозначение, а вернёмся лишь тогда, когда это будет необходимым.

Самой распространённой микросхемой «транзисторно-транзисторной логики» (ТТЛ), выполняющей функцию «НЕ», является интегральная микросхема (ИМС) К155ЛН1, внутри которой имеется шесть элементов «НЕ». Нумерация выводов этой микросхемы показана справа.

— «И» (AND) – функция сложения (если на всех входах единица, то на выходе будет единица, в противном случае, если хотя бы на одном входе ноль, то и на выходе всегда будет ноль). В алгебре-логике элемент «И» называют «конъюнктор». Графическое обозначение элемента «2И» и его таблица истинности представлены слева.

Название элемента «2И» обозначает, что у него два входа, и он выполняет функцию «И». На схеме внутри прямоугольника микросхемы рисуется значок «&», что на английском языке означает «AND» (в переводе на русский — И).

По таблице истинности следует, что на выходе элемента «И» будет логическая единица только в одном случае — когда на обоих входах будет логическая единица. Если хотя бы на одном входе ноль, то и на выходе будет ноль.

Самой распространённой микросхемой «транзисторно-транзисторной логики» (ТТЛ), выполняющей функцию «2И», является интегральная микросхема (ИМС) К155ЛИ1, внутри которой имеется четыре элемента «2И». Нумерация выводов этой микросхемы показана справа.

Для того, чтобы вам было понятнее что такое «2И», «3И», «4И», и т.д., приведу графическое обозначение и таблицу истинности элемента «3И».

По таблице истинности следует, что на выходе элемента «3И» будет логическая единица только в том случае — когда на всех трёх входах будет логическая единица. Если хотя бы на одном входе будет логический ноль, то и на выходе элемента также будет логический ноль. Самой распространённой микросхемой ТТЛ, выполняющей функцию «3И», является микросхема К555ЛИ3, внутри которой имеется три элемента «3И».

— «И-НЕ» (NAND) – функция сложения с отрицанием (если на всех входах единица, то на выходе будет ноль, в противном случае на выходе всегда будет единица). Графическое обозначение элемента «2И-НЕ» и его таблица истинности приведены слева.

По таблице истинности следует, что на выходе элемента «2И-НЕ» будет логический ноль только в том случае, если на обоих входах будет логическая единица. Если хотя бы на одном входе ноль, то на выходе будет единица.

Самой распространённой микросхемой ТТЛ, выполняющей функцию «2И-НЕ», является ИМС К155ЛА3, а микросхемами КМОП (комплементарный металлооксидный полупроводник) – ИМС К561ЛА7 и К176ЛА7, внутри которых имеется четыре элемента «2И-НЕ». Нумерация выводов этих микросхем показана справа.

Сравнив таблицы истинности элемента «2И-НЕ» и элемента «2И» можно догадаться об эквивалентности схем:

Добавив к элементу «2И» элемент «НЕ» мы получили элемент «2И-НЕ». Так можно собрать схему, если нам необходим элемент «2И-НЕ», а у нас в распоряжении имеются только элементы «2И» и «НЕ».

И наоборот:

Добавив к элементу «2И-НЕ» элемент «НЕ» мы получили элемент «2И». Так можно собрать схему, если нам необходим элемент «2И», а у нас в распоряжении имеются только элементы «2И-НЕ» и «НЕ».

Аналогичным образом, путём соединения входов элемента «2И-НЕ» мы можем получить элемент «НЕ»:

Обратите внимание, что было введено новое в обозначении элементов – дефис, разделяющий правую и левую часть в названии «2И-НЕ». Этот дефис непременный атрибут при инверсии на выходе (функции «НЕ»).

— «ИЛИ» (OR) – функция выбора (если хотя бы на одном из входов – единица, то на выходе – единица, в противном случае на выходе всегда будет ноль). В алгебре-логике, элемент «ИЛИ» называют «дизъюнктор». Графическое обозначение элемента «2ИЛИ» и его таблица истинности приведены слева.

Самой распространённой микросхемой ТТЛ, выполняющей функцию «2ИЛИ», является ИМС К155ЛЛ1, внутри которой имеется четыре элемента «2ИЛИ». Нумерация выводов этой микросхемы показана справа.

Предположим, что нам в схеме необходим элемент, выполняющий функцию «2ИЛИ», но у нас есть в распоряжении только элементы «НЕ» и «2И-НЕ», тогда можно собрать схему, которая будет выполнять функцию «2ИЛИ»:

— «ИЛИ-НЕ» (NOR) – функция выбора (если хотя бы на одном из входов – единица, то на выходе – ноль, в противном случае на выходе всегда будет единица). Как вы поняли, элемент «ИЛИ-НЕ» выполняет функцию «ИЛИ», а потом инвертирует его функцией «НЕ».

Графическое обозначение элемента «2ИЛИ-НЕ» и его таблица истинности приведена слева.

Самой распространённой микросхемой ТТЛ, выполняющей функцию «2ИЛИ-НЕ», является ИМС К155ЛЕ1, а микросхемами КМОП – К561ЛЕ5 и К176ЛЕ5, внутри которых имеется четыре элемента «2ИЛИ-НЕ». Нумерация выводов этих микросхем показана справа.

Предположим, что нам в схеме необходим элемент, выполняющий функцию «2ИЛИ-НЕ», но у нас есть в распоряжении только элементы «НЕ» и «2И-НЕ», тогда можно собрать следующую схему, которая будет выполнять функцию «2ИЛИ-НЕ»:

По аналогии с элементом «2И-НЕ», путём соединения входов элемента «2ИЛИ-НЕ» мы можем получить элемент «НЕ»:

— «Исключающее ИЛИ» (XOR) — функция неравенства двух входов (если на обоих входах элемента одинаковые сигналы, то на выходе – ноль, в противном случае на выходе всегда будет единица). Операция, которую он выполняет, часто называют «сложение по модулю 2».

Графическое обозначение элемента «Исключающее ИЛИ» и его таблица истинности приведены слева.

Самой распространённой микросхемой ТТЛ, выполняющей функцию «Исключающее ИЛИ», является ИМС К155ЛП5, а микросхемами КМОП – К561ЛП2 и К176ЛП2, внутри которых имеется четыре элемента «Исключающее ИЛИ». Нумерация выводов этих микросхем показана справа.

Предположим, что нам в схеме необходим элемент, выполняющий функцию «Исключающее ИЛИ», но у нас есть в распоряжении только элементы «2И-НЕ», тогда можно собрать следующую схему, которая будет выполнять функцию «Исключающее ИЛИ»:

В цифровой схемотехнике процессоров главная функция — «Суммирование двоичных чисел», поэтому сложный логический элемент – «Сумматор» является неотъемлемой частью арифметико-логического устройства любого, без исключения процессора. Составной частью сумматора является набор логических элементов, выполняющих функцию «Исключающее ИЛИ с переносом остатка». Что это такое? В соответствии с наукой «Информатика», результатом сложения двух двоичных чисел, две единицы одного разряда дают ноль, при этом формируется «единица переноса» в следующий старший разряд, который участвует в операции суммирования в старшем разряде. Для этого в схему добавляется ещё один вывод «переноса» — «Р».

Графическое обозначение элемента «Исключающее ИЛИ с переносом» и его таблица истинности представлена слева.

Такая функция сложения одноразрядных чисел в простых устройствах обычно не используется, и как правило, интегрирована в состав одной микросхемы – сумматора, с минимальным количеством разрядов – четыре, для сложения четырехбитных чисел. По причине слабого спроса, промышленность таких логических элементов не выпускает. Поэтому, в случае необходимости, функцию «Исключающее ИЛИ с переносом» можно собрать по следующей схеме из элементов «2И-НЕ» и «2ИЛИ-НЕ», которая активно применяется как внутри простых сумматоров, так и во всех сложных процессорах (в том числе Pentium, Intel-Core, AMD и других, которые появятся в будущем):

Вышеперечисленные логические элементы выполняют статические функции, а на основе них строятся более сложные статические и динамические элементы (устройства): триггеры, регистры, счётчики, шифраторы, дешифраторы, сумматоры, мультиплексоры.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое «И» и побитовое «И». Например, в языках C/C++ логическое «И» обозначается символом «&&», а побитовое — символом «&».

Логическое «И» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:

if (a && b) { /* какие-то действия */ };

Результат будет равен , если оба операнда равны (для числовых типов не равны ). В любом другом случае результат будет равен .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно , то значение правого операнда не вычисляется (вместо может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приемом в некоторых случаях. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:

if (a != 0 && b / a > 3) { /* какие-то действия */ };

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдет деления на ноль.

Побитовое «И» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если

a =

b =

то

a И b =

Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом «и» в естественном языке. Составное утверждение «A и B» считается истинным, когда истинны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как 1, а «ложь» как 0. При этом часто делают стандартную оговорку о неоднозначности естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз «и» может нести дополнительный оттенок «и тогда», «и поэтому», «и потом»…»И» также несет в себе оттенок неопределенного смысла. Отличие логики естественного языка от математической остроумно выразил американский математик Стивен Клини, заметив, что в естественном языке «Мэри вышла замуж и родила ребенка» — не то же самое, что «Мэри родила ребенка и вышла замуж».

> См. также

  • Логическая операция
  • Дизъюнкция
  • Импликация
  • Отрицание

Логические операции(сложение, умножение, отрицание)

В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и программировании.

Логические операции с понятиями — такие мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объёма понятий, а также образование новых понятий.

К операциям, которые связаны преимущественно с изменением содержания понятий, относятся:

— отрицание;

— ограничение ;

— обобщение ;

— деление.

К операциям, которые связаны преимущественно с объёмами понятий, относятся:

— сложение;

— умножение;

— вычитание.

Данные операции могут быть записаны математически с помощью теории множеств.

Переход же к математической логике связан с понятием суждений и установлением операций над ними с целью получения сложных суждений.

Сложение (прибавление) — одна из основных операций (действий) в разных разделах математики, позволяющая объединить два объекта (в простейшем случае — два числа). Более строго сложение — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) a и b сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: a+b.

Определение сложения

Абстрактная алгебра

В общей алгебре сложением может называться любая бинарная, коммутативная и ассоциативная операция. В случае, если на этом множестве определено также умножение, то сложение предполагается дистрибутивным по отношению к нему.

Свойства сложения в арифметике

Сложение обладает следующими свойствами:

— коммутативностью (переместительный закон): a+b=b+a

— ассоциативностью (сочетательный закон): (a+b)+c=a+(b+c)

— дистрибутивностью относительно умножения (распределительный закон): a*(b+c)=a*b+a*c

В других системах (чисел, объектов) любое из этих свойств может не выполняться.

Обозначение операции

Первое появление знаков «плюс» и «минус».

Основная статья: История математических обозначений

Знак плюс для операции сложения (а также знак минуса) придумали в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в «Арифметике» Иоганна Видмана, изданной в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.


Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5 . Результат умножения называется произведением, а умножаемые числа — множителями или сомножителями. Первый множитель иногда называется «умножаемое». Существуют также таблицы умножения.

Умножение обозначается крестиком х, звёздочкой * или точкой · .

Свойства умножения в арифметике

Умножение обладает следующими свойствами:

— коммутативностью (переместительный закон): a*b=b*a

— ассоциативностью (сочетательный закон): (a*b)*c=a*(b*c)

— дистрибутивностью (распределительный закон):a*(b+c)=a*b+a*c

Отрица́ние в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком перед или чертой — над суждением. Синоним: логическое «НЕ».

Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология: .

Обратное утверждение верно в классической логике (закон двойного отрицания), но не имеет места в интуиционистской. То есть, отрицание отрицания искомого утверждения не может служить интуиционистским доказательством, в отличие от классической логики. Это различие двух логических систем обычно полагается главным.

Основная статья: Логические элементы — отрицание

A B=A Мнемоническое правило для отрицания звучит так: На выходе будет:

0 1 «1» тогда и только тогда, когда на входе «0»,

1 0 «0» тогда и только тогда, когда на входе «1»

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *