Линии напряженности электрического поля

Линии напряжённости

Для наглядного изображения электрического поля пользуются линиями напряжённости или силовыми линиями. Линией напряжённости называют такую линию, в каждой точке которой вектор напряжённости электрического поля направлен по касательной к ней. Направление этих линий совпадает с направлением поля. Условились эти линии проводить так, чтобы число линий, отнесённых к единице площади площадки, расположенной перпендикулярно к ним, равнялось

Р

ис. 1 бы модулю напряжённости поля в месте расположения площадки. При таком способе построения по густоте линий напряжённости можно судить о модуле напряжённости электрического поля в различных точках поля. Там, где линии расположены гуще, модуль напряжённости поля больше. Следует отметить, что линии напряжённости никогда не пересекаются, поскольку их пересечение означало бы отсутствие определённого направления вектора в точках их пересечения. Картина линий напряжённости для неоднородного электростатического поля приведена на рис. 1. Из этого рисунка видноE3 < E2 < E1. Об этом судят по густоте линий. Условились считать, что линии напряжённости начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных.

Поток напряжённости электрического поля.

1. Потоком напряжённости электрического поля через какую-либо поверхность называют число линий напряженности , пронизывающих её. Пусть площадкаS находится в однородном электростатическом поле. При этом она перпендикулярна к линиям напряженности. Поскольку через единицу площади проходит число линий напряжённости, равное Е, то элементарный поток через эту площадку равен ФE = ES.

Рассмотрим теперь случай, когда в однородном электростатическом поле находится плоская площадка, нормаль к площадке составляет уголс направлением поля, т.е. с вектором напряжённости (рис. 2). Число линий напряжённости, проходящих через площадкуS и её проекцию Sпр на плоскость, перпендикулярную к этим линиям, одинаково. Следовательно, поток напряжённости электрического поля через них одинаков. Используя выражение предыдущую формулу, находим, чтоНоSпр = S cos. Поэтому

ФЕ = ES cos  = En S, (6)

где Ecos  = En  проекция вектора на направление нормалик площадке.

Рис. 2 Рис. 3 Для вычисления потока ФЕ напряжённости электрического поля через произвольную поверхность S, помещённую в неоднородное электрическое поле (рис. 3), надо мысленно разбить его на элементарные участки dS, чтобы площадку можно было бы считать плоской, а поле в её пределах однородным. Тогда, согласно (6), элементарный поток dФE = En dS, а поток напряжённости электрического поля через всю поверхность равен сумме этих потоков dФE, т.е.

(7)

поскольку суммирование бесконечно малых величин означает интегрирование.

Теорема гаусса для электростатического поля

Проведём вокруг точечного заряда сферу произвольного радиуса r с центром в точке расположения заряда (рис. 3). Найдём поток напряжённости электростатического поля через эту поверхность. В данном случае направления векторов ив любой точке поверхности совпадают. ПоэтомуEn = Ecos 0 = E. Модуль напряжённости во всех точках на поверхности сферы одинаков и равен C учётом этого из (6) получаем:

Р

О

ис. 3 (8)

где значок  на интеграле означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности. E вынесена за знак интеграла, поскольку она не зависит от S. Суммирование же всех площадей элементарных площадок даёт площадь S сферы, т.е. Соотношение (8) справедливо не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности, поскольку число линий напряжённости, пронизывающих её и сферу, одинаково. Если имеется система точечных зарядов, то очевидно, что полный потокФЕ напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в силу принципа суперпозиции полей равен сумме потоков ФЕi, создаваемых каждым зарядом qi в отдельности, т.е. =. Но, как следует из (8),ФEi = qi / (). Поэтому

(9)

поскольку  и  постоянные величины их вынесли за знак суммы. Таким образом, получен общий результат, названный теоремой Гаусса: поток напряжённости электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключённых внутри неё, делённой на электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость среды.

Заряды в пространстве могут распределяться не только дискретно, но и непрерывно. В этом случае вводится понятие о плотности зарядов. При непрерывном распределении зарядов по объёму вводят объёмную плотность заряда. Пусть заряд q равномерно распределён по объёму V. Тогда объёмной плотностью заряда  называется отношение  = q/V. Если же распределение заряда неравномерное, то надо выделить на поверхности элементарный участок dV, в пределах которого заряд dq, находящийся на нём, можно считать равномерно распределённым. Объёмная плотность заряда  находится по формуле:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *