Линейная цепь

Линейные электрические цепи постоянного тока

Предыдущая12345678910111213141516

1.1.Элементы электрических цепей постоянного тока

Электромагнитные устройства с происходящими в них физическими процессами можно заменить некоторым расчетным эквивалентом – электрической цепью (ЭЦ).

Электрической цепью называют совокупность источников электрической энергии, соединенных с нагрузками. Электромагнитные процессы в ЭЦ можно описать с помощью понятий: ток – I (А), напряжение – U (В), электродвижущая сила (ЭДС) – Е (В), электрический потенциал в точке а – φa, сопротивление – R (Ом), проводимость – g (См), индуктивность – L (Гн), емкость – С (Ф).

Постоянный ток, не изменяющийся во времени ни по величине, ни по направлению, представляет собой упорядоченное «направленное» движение электрических зарядов. Носителями зарядов в металлах являются электроны, в полупроводниках – дырки и электроны, в жидкостях – ионы, в газовом разряде – электроны и ионы. Упорядоченное движение носителей зарядов в проводнике вызывается электрическим полем, создаваемым источниками электрической энергии.

Источник энергии характеризуется величиной и направлением ЭДС и величиной внутреннего сопротивления.

На рис. 1.1а)изображена схема неразветвленной электрической цепи.

в)

а)

б)

Рис. 1.1.

Зависимость протекающего по сопротивлению R тока от напряжения на этом сопротивлении I=f(U), называется вольтамперной характеристикой (ВАХ). Сопротивления, ВАХ которых – прямые линии (рис.1.1.б.), называются линейными, а электрические цепи с такими сопротивлениями – линейными электрическими цепями. Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями, называют нелинейными (рис. 1.1.в.), а электрические цепи с таким сопротивлениями − нелинейными. В неразветвленной цепи через каждый участок протекает один и тот же ток. В разветвленной цепи, представленной на рис.1.2., в каждой ветви протекает свой ток.

Рис. 1.2.

Ветвью называется участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами, заключенными между двумя узлами а и b (рис.1.2.). Узел – это точка цепи, в которой сходится не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий нет электрического соединения, то точка не ставится.

1.2. Закон Ома для участка цепи

Напряжение Uab на участке a-b ЭЦ (рис.1.3.) понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Ток I течет от точки «а» большего потенциала к точке «b» меньшего потенциала, т.е. на величину падения напряжения на сопротивлении R

Рис. 1.3.

В соответствии с определением напряжение между точками а и b:

Тогда напряжение на сопротивлении R равно произведению протекающего по нему тока на величину этого сопротивления. Так определяется закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, который можно записать как

Рассмотрим участок цепи, содержащий помимо сопротивления ЭДС, Е.

б)

а)

Рис. 1.4.

На рис. 1.4. (а и б) показаны участки цепей с источником ЭДС, по которым протекает ток I. Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками «а» и «с». Согласно определению в обоих случаях имеем

На рис.1.4.а) перемещение от точки «с» к точке «b» является встречным направлению ЭДС Е, поэтому на величину Е

Потенциал в точке «b» на рис. 1.4.б)оказывается выше, чем в точке с на величину ЭДС Е

Поскольку ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах а и b рис. 1.4. потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R

Таким образом, на рис. 1.4.а)

,

а на рис. 1.4.б).

, или .

Т.о., для участка цепи, содержащего источник ЭДС, можно найти ток этого участка по разности потенциалов .

Ток для схемы рис. 1.4.а) ,

для схемы рис.1.4.б) .

Полученные уравнения выражают закон Ома для участков цепи, включающих источники ЭДС, направленные по току и против тока.

1.3. Источник ЭДС и источник тока

Источник энергии в схеме рис. 1.5.а), очерченный пунктирной линией, включает источник ЭДС Е и внутреннее сопротивление rвт.

Внешняя характеристика источника напряжения (или ВАХ) в общем случае определяется как ,

где Uxx − напряжение при разомкнутой цепи нагрузки. Этому выражению соответствует прямая наклонная линия на рис. 1.5.а).

а)

б)

Рис. 1. 5.

в)

б)

а)

Рис. 1.6.

Рассмотрим два крайних случая.

1) При и , получим , тогда ВАХ − прямая линия, источник ЭДС (рис. 1.6.б) представляет собой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого не зависит от величины тока.

2) Если у источника питания повышается ЭДС и внутреннее сопротивление , , то , тогда . Ток источника тока , и ВАХ примет вид, показанный на рис.1.6.в).

Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, в котором ток не зависит от сопротивления нагрузки.

При построении эквивалентных схем замещения ветви, содержащие источники напряжения, замыкают накоротко (rвт=0), а ветви с источниками тока ликвидируют (т. к. ). Ток в нагрузке для схем рис. 1.6.б)и в) одинаков;

для источника ЭДС , для источника тока .

Осуществим переход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. Пусть в схеме б) =50 А, =2 Ом, в схеме а) ЭДС =100 В. Следовательно, параметры эквивалентной схемы рис.1.5.а) равны = 100 В, = 2 Ом.

Можно пользоваться любым эквивалентом, но в основном пользуются источником напряжения.

1.4. Методы расчета электрических цепей постоянного тока

1.4.1.Расчет по законам Кирхгофа

Все ЭЦ подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко. Алгебраическая сумма токов, приходящих к любому узлу схемы, равна нулю. Сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла.

Если токи, приходящие к узлу, на рис. 1.7. считать положительными, а токи, уходящие от узла, отрицательными, то, согласно первой формулировке, получим ; ,

где n – число ветвей, образующих узел.

Рис. 1.7.

Согласно 2-й формулировке .

Физически 1-й закон Кирхгофа означает, что при движении электронов по цепи ни в одном из узлов заряды не накапливаются.

Второй закон Кирхгофа так же можно сформулировать двояко. Алгебраическая сумма падений напряжений на резистивных элементах в любом замкнутом контуре равно алгебраической сумме ЭДС. .

В каждую из сумм составляющие слагаемые входят со знаком «+», если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «-«, если не совпадают.

Алгебраическая сумма напряжений участков вдоль любого замкнутого контура равна нулю ,

где m – число участков контура, так, для периферийного контура схемы рис.1.8. имеем .

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменений токов и напряжений во времени.

При составлении уравнений для расчетов токов в ветвях схемы с помощью законов Кирхгофа учитываем, что в каждой ветви течет свой ток.

Рис. 1.8.

Обозначим число всех ветвей схемы через «б», число ветвей, содержащих источники тока, через «бист.т», и число узлов – через «у». Так как токи в ветвях с источниками тока неизвестны, то число неизвестных токов запишем как «б» — «бист.т».

Перед тем как составить уравнения, необходимо а) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) выбрать положительные направления контуров для составления уравнений по 2-ому закону Кирхгофа.

Желательно во всех контурах положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке, как показано на рис. 1.9.

Чтобы получить независимые уравнения, по 1-ому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т.е. «у-1». По 2-ому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока б — бист.т, за вычетом числа уравнений, составленных по 1- му закону Кирхгофа. В рассмотренном (б — бист.т)-(у -1) = 3 – 2 + 1 = 2.

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в контуры, для которых уже записаны уравнения. Такие контуры условно можно назвать независимыми.

По 1- ому закону Кирхгофа составляем одно уравнение .

По 2-ому закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Для контура , знак «+» взят перед , потому что направление тока совпадает с направлением обхода контура; знак «-» перед показывает, что направление встречно обходу контура.

Для контура .

Используя законы Кирхгофа, можно для любой разветвленной электрической цепи составить необходимое число уравнений, путем совместного решения которых можно найти все определяемые величины (например, токи), а также установить зависимости между ними.

1.4.2. Преобразование ЭЦ с различным соединением сопротивлений

1. Последовательным соединением сопротивлений называется такое, когда конец первого сопротивления соединяется с началом второго, конец второго сопротивления с началом третьего и т.д. Начало первого сопротивления и конец последнего подключаются к источнику питания или к каким-либо точкам ЭЦ (рис. 1. 9.). Во всех сопротивлениях протекает один и

Рис. 1.9.

тот же ток.

Рис. 1. 9.

Ток в цепи, напряжения на сопротивлениях и потребляемые ими мощности определяются следующими соотношениями.

1. Эквивалентное сопротивление электрической цепи .

2. Ток в сопротивлениях цепи .

3. Напряжение и мощность, подводимые к электрической цепи с последовательным соединением сопротивлений равны, соответственно, сумме напряжений и мощностей ,

4. Напряжение и мощности распределяются пропорционально сопротивлениям .

2. При параллельном соединении сопротивлений соединяются между собой как начало всех сопротивлений, так и их концы (рис. 1.10.).

Характерным для параллельного соединения является одно и то же напряжение на зажимах всех сопротивлений. Параллельно соединяются обычно различные приемники электрической энергии, рассчитанные на одно и то же напряжение. При параллельном соединении не требуется согласовывать номинальные данные приемников, возможно включение и отключение любых приемников независимо от остальных, а при выходе из строя любого из них остальные остаются включенными.

б)

а)

Рис. 1. 10.

Параллельное соединение можно применить, если требуется уменьшить сопротивления какого-либо участка электрической цепи, как показано на рис. 1.10.б).

Токи и мощности параллельно соединенных ветвей рис.1.10.а) при не зависят друг от друга.

1. Общий ток равен сумме токов параллельно соединенных ветвей

,

где: − эквивалентная проводимость, равная

− эквивалентное сопротивление, .

2. Токи и мощности в ветвях в ветвях вычисляются по формулам ; ; ; .

3. Отношение токов и мощностей равно отношению проводимостей и обратно пропорционально отношению сопротивлений

При увеличении параллельно соединенных сопротивлений эквивалентная проводимость ЭЦ увеличивается, а эквивалентное сопротивление уменьшается, что приводит к увеличению тока. Если напряжение остается const, то увеличивается также общая мощность.

, или .

3. Смешанным или последовательно-параллельным называется такое соединение сопротивлений, при котором на одних участках ЭЦ сопротивления соединены параллельно, а на других последовательно.

Анализ и расчет ЭЦ со смешанным соединением сопротивлений производится методом преобразований. Электрическая цепь (рис. 1.11.а) заменяется последовательно эквивалентными цепями до образования схемы, изображенной на рис. 1.11.б).

б)

а)

Рис. 1.11.

В соединении «треугольником» конец одного из сопротивлений соединяется с началом следующего и т.д., а узлы a,b,c подключаются к остальной части ЭЦ. В соединении «звездой» все концы соединяются вместе, а начала фаз подключаются к схеме. Если заменить сопротивление , , , соединенные в треугольник, эквивалентными сопротивлениями, соединенными звездой, то получим цепи со смешанным соединением сопротивлений.

Преобразование «звезды» в «треугольник»

б)

а)

Рис. 1. 12.

После замены токи и направления должны остаться без изменений.

Для «треугольника» ;

Для соединения звездой

По условию эквивалентности эквивалентные сопротивление обеих схем равны , следовательно, можно записать

1) ;

Структуры соединением «треугольник» и «звезда» по отношению к узлам симметричны, поэтому циклично запишем

2) ;

3) .

Сложим 1) и 3), вычтем 2), всё поделим на 2, получим

, , .

Если в «треугольнике» равны, то и в «звезде» равны: .

Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник. Для этого надо попарно перемножить 1) и 3) и сложить, затем вынести общий множитель и полученное уравнение разделить на 3)уравнение, т.е. . Далее поочередно поделить то же уравнение на и .

Путем циклической подстановки индексов при преобразовании звезды в треугольник получим

, , .

На рис. 1.13. поясняется упрощение схемы путем последовательной замены эквивалентными цепями при преобразовании «треугольника» в «звезду».

а) б)

Рис. 1.13.

в) г)

1.4.3. Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов за искомое принимают контурные токи. Число неизвестных равно числу уравнений, которые необходимо было составить по II закону Кирхгофа. Следовательно, в методе контурных токов меньшее число уравнений, чем в методе на основе законов Кирхгофа.

Рис. 1. 14.

Рис. 1.14

В схеме рис. 1.14.два независимых контура. Допустим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток , в правом – контурный ток . Для каждого из контуров составим уравнение по II закону Кирхгофа.

Рис. 1.14.

Для первого контура , или

Для второго контура , или

В уравнении для 1-го контура множитель при токе , являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через . Множитель при токе , взятый со знаком «-«, обозначим через . Уравнения для 1-го и 2-го контуров примут вид , , здесь

; ;

где − полное или собственное сопротивление первого и второго контуров, соответственно.

− взаимное сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятые со знаком «-«.

− контурные ЭДС первого и второго контуров, равные алгебраической сумме ЭДС, входящих в эти контуры.

Со знаком «+» входят ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода контура.

Отметим, что члены, содержащие полные контурные сопротивления, положительны, а взаимные – отрицательны.

Если в схеме будет три контура, то система уравнений примет вид

Или в матричной форме

, , .

Если в электрической цепи имеется «n» независимых контуров, то количество уравнений тоже равно n. Решение удобно проверить методами Крамера и Гаусса.

Общее решение системы n уравнений относительного тока

,

где и − определители системы.

По найденным токам ищем действительные токи ; ; ; ; , находим из 1-го закона Кирхгофа.

1.4.4. Метод узловых потенциалов.

а)

б)

б

в)

Рис.1.15

Рис. 1. 15.

По 1-му закону Кирхгофа для 1-го узла

, ;

или через проводимости

,

,

для 2-го узла

, ,

,

,

1) Узловая проводимость узла − это сумма проводимости ветвей, сходящихся в данном узле.

; ; .

2) Взаимная проводимость двух любых узлов − сумма проводимости ветвей, включённых между этими узлами.

; ; ; ; .

3) Узловой ток − сумма произведений ЭДС на проводимости ( ) ветвей, сходящихся в данном узле. Если ЭДС направлена к узлу, то берем ее как «+»; от узла «−».

; ; .

4) В системе уравнений все члены, содержащие узловые проводимости берутся со знаком «+», а содержащие взаимные проводимости − со знаком «-«.

Решив систему уравнений, найдем потенциалы всех узлов. По этим потенциалам определяем токи ветви ,

если ток получился со знаком «-«, значит в действительности он направлен в противоположную сторону.

; ; ; ; .

1.4.5. Метод узлового напряжения (2-х узлов)

Метод узлового напряжения − это частный случай метода узловых потенциалов, дает возможность упрощенного расчета ЭЦ, содержащей несколько параллельно соединенных ветвей (рис. 1.16.а).

Поскольку в верхних и нижних шинах схемы не включено каких-либо сопротивлений, то электрическую цепь рис.1.16.а) можно заменить цепью, изображенной на рис. 1.16.б).

В зависимости от величин и направлений ЭДС между узловыми точками а) и б) установится определенное узловое напряжение U. Если оно известно, то легко найти токи между двумя узлами а и б.

Выберем условные положительные направления токов, как показано на рис. 1.16. По 2-ому закону Кирхгофа для контура, включающего 1-ю ветвь

, .

Так же найдем токи ветвей и

, .

По закону Ома найдем ток для 4-ой ветви .

Рис. 1. 16.

б)

а)

Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение U, запишем уравнение по 1- му закону Кирхгофа для узла а

Заменим токи полученными выражениями

После группировки членов получим формулу узлового напряжения

, или в общем виде .

1.4.6. Метод наложения токов

а)

Метод наложения токов называют также методом суперпозиции или эквивалентных сопротивлений.

Принцип наложения заключается в следующем: при воздействии 2-х источников ток каждой ветви определяется как сумма токов от действия каждого из источников (рис. 1.17.а). При определении токов в каждой ветви

оставляем один источник Е, в 1-й ветви, остальными пренебрегаем. Затем также поступаем с источником Е в другой ветви.

а) б) в)

Рис. 1.17.

б)

В схеме рис. 1.17.б)

б)

. Оставляем

Это приведенные токи.

в)

В схеме рис. 1.17.в) . Оставляем , остальных нет.

Рис. 1. 17.

; .

Это приведенные токи.

Чтобы найти действительные токи произведем наложение. Найдем алгебраическую сумму токов в ветвях.

Если составляющие токов в ветви направлены в одну сторону, то действительный ток ветви равен их сумме; если встречно – то действительный ток равен их разности ; ; .

1.4.7. Метод эквивалентного генератора

Удобен, если необходимо найти ток в одной ветви сложной ЭЦ, не рассчитывая токи в других ветвях. Принцип метода состоит в замене сложной ЭЦ активным 2-х полюсником А – эквивалентным источником энергии.

Действуем методом наложения, цепь разбиваем на 2 части по сечению ab (рис.1.18.а.).

а) б) в) г)

Рис.1.18.

Имеем:

А – активный 2-х полюсник (с источником ЭДС), с 2-мя выводами a, b, который подсоединен к RH. Требуется найти ток в цепи RH.

б)

Чтобы найти ток, заменим RH на источник ЭДС, равный падению напряжения на этом сопротивлении, согласно теореме компенсации.

в)

Ток не изменился, так как Uab=U=const. Источник EH работает в режиме потребителя. Для определения тока в цепи используем метод наложения. Активный 2-х полюсник А работает в режиме короткого замыкания, так как источник ЕН не действует, .

г)

Если , то есть все ЭДС в активном 2-х полюснике равны 0, то активный 2-х полюсник А не действует и становится пассивным 2-х полюсником П с Rвх. Действует только ЕН=U. Ток пассивного 2-х полюсника

Рис. 1. 18.

.

Проведем наложение , .

Если 2-х полюсник работает в режиме холостого хода, когда ,

; .

Т.о., активный 2-х полюсник А можно заменить эквивалентным источником напряжения, ЭДС которого равна Uхх активного 2-х полюсника (Ег=Uхх), а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению активного 2-х полюсника Rвт = Rвх..

г)

1.5. Энергетический баланс в электрических цепях

При протекании токов по сопротивлениям в них выделяется тепло. На основании закона сохранения энергии количество тепла, выделяемого в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания.

В случаях, когда направление тока I, протекающего через источник ЭДС Е, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС поставляет в цепь в единицу времени энергию, и произведение EI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.

Если направление тока I встречно направлению ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккомулятор) и произведение EI входит в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании ото всех источников ЭДС имеет вид

Общий вид уравнения энергетического баланса с учетом энергии, доставляемой источниками тока, выражается как .

Линейные кинематические параметры

Как уже отмечалось, достаточно полное описание движения точки должно содержать информацию о трех кинематических параметрах для любого момента времени: о положении точки в выбранной системе координат, о скорости и ускорении точки. Вообще говоря, все эти параметры связаны между собой, и знание одного из них плюс начальные их значения, позволяет определить остальные параметры.

Дадим определения кинематическим параметрам.

Положение точки

Выберем систему отсчета и начало отсчета — точку О.

Допустим, что в момент времени t точка находилась в положении 1. Через время t точка оказалась в положении 2 (Рис 3.1).

Положение точки определяется радиус-вектором r(t). Это вектор, проведенный из начала отсчета в данную точку.

Например, положение 1 характеризуется вектором r(t), а положение 2 характеризуется вектором r(t+t).

Линия, соединяющая последовательные положения конца вектора называется годографом этого вектора.

Годограф вектора r(t) — это траектория движения точки.

Длина траектории называется путем S.

Перемещением точки называется вектор r, проведенный из начальной точки движения 1 в конечную точку 2.

Из рис. 2.1 видно r(t) + r = r(t+t). Отсюда следует:

r = r(t+t) — r(t). (3.1)

Следовательно, перемещение r точки за время t — это разность конечного и начального положений точки.

В декартовой системе координат положение точки записывается в виде:

r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez, (3.2)

где x(t), y(t), z(t) — координаты точки в момент времени t.

Перейдем к понятию скорости.

Скорость

Когда мы хотим объяснить, как быстро передвигалась материальная точка, то есть какова ее скорость, мы говорим, что она за какую-то единицу времени прошла такое-то расстояние.

Если за время t точка совершила перемещение r, то отношение r/t будет характеризовать среднюю скорость v точки за время t.

v = r/t. (3.3)

Конечно, при этом точка на этом участке может двигаться неравномерно. Например, свободно падающее тело за каждую секунду проходит разные расстояния. При этом мы также понимаем, что в начале и в конце каждой секунды тело имело разные скорости.

Если мы будем пытаться определять скорость в момент времени t, то, очевидно, нужно уменьшать промежуток времени t, и в течение этого промежутка определять перемещение r материальной точки. До какого предела можно уменьшать промежутки времени t? При этом r также будет стремиться к нулю. Есть ли предел отношению r/t?

Проблемы, связанные с бесконечно малыми величинами, были решены только с введением И.Ньютоном и Г.Лейбницем дифференциального исчисления. Предел отношения r/t существует и будет точно определять мгновенную скорость точки.

Мгновенной скоростью v(t) в момент времени t называется предел отношения r/t при t стремящимся к нулю. В математике такой предел называется производной от радиус-вектора r(t) по времени t и обозначается dr /dt.

. (3.4)

При стремлении t к нулю направление перемещения dr совпадает с направлением касательной к траектории движения точки в момент времени t ( рис. 3.1).

Поэтому направление скорости v(t) совпадает с направлением касательной в данной точке траектории и указывает направление движения материальной точки.

Если орт скорости обозначить за e, который совпадает по направлению с касательной, то вектор скорости можно записать в виде:

v = ve. (3.5)

Определим модуль вектора скорости v:

Так как при стремлении t к нулю модуль перемещения r стремиться к длине дуги S, то dr= dS, и поэтому модуль скорости v равен производной пути S по времени t.

. (3.6)

В декартовой системе координат скорость точки записывается в виде:

v(t) = .

В физике принято производные по времени обозначать точкой над буквой, обозначающей данную величину.

Если орты координатной системы не изменяются в пространстве со временем, получим:

v(t) = ex + ey + ez, (3.7)

где — проекции вектора скорости точки (компоненты скорости) v(t) в момент времени t на соответствующие оси.

Таким образом, компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

Модуль скорости, выраженный через компоненты скорости равен:

. (3.8)

Модуль средней скорости и средний модуль скорости могут существенно отличаться. Например, точка движется равномерно по окружности радиуса R. За период обращения T перемещение точки равно нулю, так как начало и конец вектора перемещения находятся в одной и той же точке. Следовательно, модуль средней скорости (3.3) за время T равен нулю. Путь же, пройденный точкой за время T, равен 2R и средний модуль скорости будет равен: = 2R/T. Легко убедиться, что в приведенном примере модуль средней скорости зависит от выбранного промежутка времени t, а средний модуль скорости не зависит.

Ускорение

Если скорость v показывает, как изменяется радиус-вектор r точки со временем, то ускорение w показывает, как изменяется скорость v точки. Повторив предыдущие рассуждения, можно прийти к следующим определениям ускорений.

Мгновенным ускорением w называется предел отношения приращения скорости v к промежутку времени t, за который произошло это приращение, при стремлении t к нулю:

. (3.9)

Более краткая формулировка: мгновенное ускорение это производная скорости по времени.

Используем выражения (3.4) и (2.2) для записи ускорения w:

. (3.10)

Первое слагаемое в этом выражении w — вектор, направленный по скорости v, и по модулю равный изменению скорости по абсолютной величине (см. рис 3.2) . Эта составляющая ускорения называется тангенциальным ускорением.

Второе слагаемое wn отвечает за изменение скорости по направлению и называется нормальным ускорением. Найдем модуль и направление этого вектора следующим образом.

Для того чтобы вычислить нормальное ускорение необходимо вычислить производную . Орт e может изменяется только по направлению, что соответствует движению точки по искривленной траектории.

Каждому бесконечно малому участку искривленной траектории можно сопоставить окружность радиуса R, которая сливается с ним на этом участке. Радиус этой окружности характеризует кривизну траектории в данной точке. Поэтому движение точки на криволинейном бесконечно малом отрезке траектории можно представить как движение по окружности радиуса R.

При движении точки по окружности вектор ее скорости и соответственно орт скорости е вращаются с некоторой угловой скоростью .

Как мы показали (2.13), производная вращающегося, постоянного по модулю вектора равна: е. Таким образом, эта производная будет определять направление нормального ускорения. Направление единичного вектора совпадающего по направлению с вектором е называется главной нормалью.

Таким образом, нормальное ускорение wn будет равно

vе = v. (3.11)

Из элементарного курса физики известно, что модуль угловой скорости точки при ее движении по окружности связан с модулем скорости соотношением: = v/R. Следовательно, модуль нормального ускорения будет равен: .

Модуль полного ускорения равен:

Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи это:

Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи — элемент электрической цепи, у которого электрические напряжения и электрические токи или (и) электрические токи и магнитные потокосцепления, или (и) электрические заряды и электрические напряжения связаны друг с другом линейными (нелинейными) зависимостями

Источник: «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА . ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ. ГОСТ Р 52002-2003»

(утв. Постановлением Госстандарта России от 09.01.2003 № 3-ст)

Ссылки на определение понятия «Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи»

HTML-код ссылки на слово Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи

BB-код ссылки на слово «Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи» для форумов

Прямая ссылка на слово «Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи» для социальных сетей и электронной почты

Уважаемые пользователи сайта. На данной странице вы найдете определение понятия «Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи». Полученная информация поможет вам понять, что такое Багаж. Если по вашему мнению определение термина «Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи» ошибочно или не обладает достаточной полнотой, то рекомендуем вам предложить свою редакцию этого слова.

Для вашего удобства мы оптимизируем эту страницу не только по правильному запросу «Линейный (нелинейный) элемент электрической цепи», но и по ошибочному запросу «». Такие ошибки иногда происходят, когда пользователи забывают сменить раскладку клавиатуры при вводе слова в строку поиска.

Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила (ЭДС). При таком подходе совокупность электротехнических устройств, состоящую из соответствующим образом соединенных источников и приемников электрической энергии, предназначенных для генерации, передачи, распределения и преобразования электрической энергии и (или) информации, рассматривают как электрическую цепь. Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи. Основными элементами цепи являются источники и приемники электрической энергии (сигналов). Электротехнические устройства, производящие электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии, а устройства, потребляющие ее – приемниками (потребителями) электрической энергии.

У каждого элемента цепи можно выделить определенное число зажимов (полюсов), с помощью которых он соединяется с другими элементами. Различают двух –и многополюсные элементы. Двухполюсники имеют два зажима. К ним относятся источники энергии (за исключением управляемых и многофазных), резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы. Многополюсные элементы – это, например, триоды, трансформаторы, усилители и т.д.

Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. К основным характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные, вебер-амперные и кулон-вольтные характеристики, описываемые дифференциальными или (и) алгебраическими уравнениями. Если элементы описываются линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями, то они называются линейными, в противном случае они относятся к классу нелинейных. Строго говоря, все элементы являются нелинейными. Возможность рассмотрения их как линейных, что существенно упрощает математическое описание и анализ процессов, определяется границами изменения характеризующих их переменных и их частот. Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и интегралы в этих уравнениях, называются параметрами элемента.

Если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, определяющих его геометрические размеры, то он называется элементом с сосредоточенными параметрами. Если элемент описывается уравнениями, в которые входят пространственные переменные, то он относится к классу элементов с распределенными параметрами. Классическим примером последних является линия передачи электроэнергии (длинная линия).

Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя бы одного нелинейного элемента относит ее к классу нелинейных.

Рассмотрим пассивные элементы цепи, их основные характеристики и параметры.

1. Резистивный элемент (резистор)

Условное графическое изображение резистора приведено на рис. 1,а. Резистор – это пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением. Последнее определяется геометрическими размерами тела и свойствами материала: удельным сопротивлением r (Ом´ м) или обратной величиной – удельной проводимостью (См/м).

В простейшем случае проводника длиной и сечением S его сопротивление определяется выражением

.

В общем случае определение сопротивления связано с расчетом поля в проводящей среде, разделяющей два электрода.

Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость (или ), называемая вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Если зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рис. 1,б), то резистор называется линейным и описывается соотношением

или

,

где — проводимость. При этом R=const.

Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна (рис. 1,б), как будет показано в блоке лекций, посвященных нелинейным цепям, характеризуется несколькими параметрами. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие статическое и дифференциальное сопротивления.

2. Индуктивный элемент (катушка индуктивности)

Условное графическое изображение катушки индуктивности приведено на рис. 2,а. Катушка – это пассивный элемент, характеризующийся индуктивностью. Для расчета индуктивности катушки необходимо рассчитать созданное ею магнитное поле.

Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам катушки,

В свою очередь потокосцепление равно сумме произведений потока, пронизывающего витки, на число этих витков , где .

Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость , называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см. рис. 2,б); при этом

Нелинейные свойства катушки индуктивности (см. кривую на рис. 2,б) определяет наличие у нее сердечника из ферромагнитного материала, для которого зависимость магнитной индукции от напряженности поля нелинейна. Без учета явления магнитного гистерезиса нелинейная катушка характеризуется статической и дифференциальной индуктивностями.

3. Емкостный элемент (конденсатор)

Условное графическое изображение конденсатора приведено на рис. 3,а.

Конденсатор – это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Для расчета последней необходимо рассчитать электрическое поле в конденсаторе. Емкость определяется отношением заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u между ними

и зависит от геометрии обкладок и свойств диэлектрика, находящегося между ними. Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у них относительная диэлектрическая проницаемость =const. В этом случае зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, (см. рис. 3,б) и

У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемость является функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости (рис. 3,б). В этом случае без учета явления электрического гистерезиса нелинейный конденсатор характеризуется статической и дифференциальной емкостями.

Схемы замещения источников электрической энергии

Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ , называемой внешней характеристикой источника. Далее в этом разделе для упрощения анализа и математического описания будут рассматриваться источники постоянного напряжения (тока). Однако все полученные при этом закономерности, понятия и эквивалентные схемы в полной мере распространяются на источники переменного тока. ВАХ источника может быть определена экспериментально на основе схемы, представленной на рис. 4,а. Здесь вольтметр V измеряет напряжение на зажимах 1-2 источника И, а амперметр А – потребляемый от него ток I, величина которого может изменяться с помощью переменного нагрузочного резистора (реостата) RН.

В общем случае ВАХ источника является нелинейной (кривая 1 на рис. 4,б). Она имеет две характерные точки, которые соответствуют:

а – режиму холостого хода ;

б – режиму короткого замыкания .

Для большинства источников режим короткого замыкания (иногда холостого хода) является недопустимым. Токи и напряжения источника обычно могут изменяться в определенных пределах, ограниченных сверху значениями, соответствующими номинальному режиму (режиму, при котором изготовитель гарантирует наилучшие условия его эксплуатации в отношении экономичности и долговечности срока службы). Это позволяет в ряде случаев для упрощения расчетов аппроксимировать нелинейную ВАХ на рабочем участке m-n (см. рис. 4,б) прямой, положение которой определяется рабочими интервалами изменения напряжения и тока. Следует отметить, что многие источники (гальванические элементы, аккумуляторы) имеют линейные ВАХ.

Прямая 2 на рис. 4,б описывается линейным уравнением

, (1)

где — напряжение на зажимах источника при отключенной нагрузке (разомкнутом ключе К в схеме на рис. 4,а); — внутреннее сопротивление источника.

Уравнение (1) позволяет составить последовательную схему замещения источника (см. рис. 5,а). На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным источником ЭДС. Напряжение на зажимах этого элемента не зависит от тока источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 5,б. На основании (1) у такого источника . Отметим, что направления ЭДС и напряжения на зажимах источника противоположны.

Если ВАХ источника линейна, то для определения параметров его схемы замещения необходимо провести замеры напряжения и тока для двух любых режимов его работы.

Существует также параллельная схема замещения источника. Для ее описания разделим левую и правую части соотношения (1) на . В результате получим

или

, (2)

где ; — внутренняя проводимость источника.

Уравнению (2) соответствует схема замещения источника на рис. 6,а.

На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток в ветви с этим элементом равен и не зависит от напряжения на зажимах источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 6,б. На этом основании с учетом (2) у такого источника , т.е. его внутреннее сопротивление .

Отметим, что в расчетном плане при выполнении условия последовательная и параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. Однако в энергетическом отношении они различны, поскольку в режиме холостого хода для последовательной схемы замещения мощность равна нулю, а для параллельной – нет.

Кроме отмеченных режимов функционирования источника, на практике важное значение имеет согласованный режим работы, при котором нагрузкой RН от источника потребляется максимальная мощность

, (3)

Условие такого режима

, (4)

В заключение отметим, что в соответствии с ВАХ на рис. 5,б и 6,б идеальные источники ЭДС и тока являются источниками бесконечно большой мощности.

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия, 1972. –240 с.
  4. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Может ли внешняя характеристик источника проходить через начало координат?
  2. Какой режим (холостой ход или короткое замыкание) является аварийным для источника тока?
  3. В чем заключаются эквивалентность и различие последовательной и параллельной схем замещения источника?
  4. Определить индуктивность L и энергию магнитного поля WМкатушки, если при токе в ней I=20А потокосцепление y =2 Вб.

    Ответ: L=0,1 Гн; WМ=40 Дж.

  5. Определить емкость С и энергию электрического поля WЭконденсатора, если при напряжении на его обкладках U=400 В заряд конденсатора q=0,2´ 10-3 Кл.

    Ответ: С=0,5 мкФ; WЭ=0,04 Дж.

  6. У генератора постоянного тока при токе в нагрузке I1=50Анапряжение на зажимах U1=210 В,а притоке, равном I2=100А, оно снижается до U2=190 В.
  7. Определить параметры последовательной схемы замещения источника и ток короткого замыкания.

    Ответ:

  8. Вывести соотношения (3) и (4) и определить максимальную мощность, отдаваемую нагрузке, по условиям предыдущей задачи.

    Ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *