Катушка индуктивности 101

Теоретическое обоснование

Если в проводящем контуре течёт ток, то ток создаёт магнитное поле.

Будем вести рассмотрение в квазистатическом приближении, подразумевая, что переменные электрические поля достаточно слабы либо меняются достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь порождаемыми ими магнитными полями.

Ток считаем одинаковым по всей длине контура (пренебрегая ёмкостью проводника, которая позволяет накапливать заряды в разных его участках, что вызвало бы неодинаковость тока вдоль проводника и заметно усложнило бы картину).

По закону Био — Савара — Лапласа, величина вектора магнитной индукции, создаваемой некоторым элементарным (в смысле геометрической малости участка проводника, рассматриваемого как элементарный источник магнитного поля) током в каждой точке пространства, пропорциональна этому току. Суммируя поля, создаваемые каждым элементарным участком, приходим к тому, что и магнитное поле (вектор магнитной индукции), создаваемое всем проводником, также пропорционально порождающему току.

Рассуждение выше верно для вакуума. В случае присутствия магнитной среды (магнетика) с заметной (или даже большой) магнитной восприимчивостью, вектор магнитной индукции (который и входит в выражение для магнитного потока) будет заметно (или даже во много раз) отличаться от того, каким бы он был в отсутствие магнетика (в вакууме). Мы ограничимся здесь линейным приближением, тогда вектор магнитной индукции, хотя, возможно, возросший (или уменьшившийся) в заметное количество раз по сравнению с отсутствием магнетика при том же контуре с током, тем не менее остаётся пропорциональным порождающему его току.

Тогда магнитный поток, то есть поток поля вектора магнитной индукции:

Φ = ∫ S B ⋅ d S {\displaystyle \Phi =\int \limits _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dS} }

через любую конкретную фиксированную поверхность S (в частности и через интересующую нас поверхность, краем которой является наш контур с током) будет пропорционален току, так как пропорционально току B всюду под интегралом.

Заметим, что поверхность, краем которой является контур, может быть достаточно сложна, если сложен сам контур. Уже для контура в виде просто многовитковой катушки такая поверхность оказывается достаточно сложной. На практике это приводит к использованию некоторых упрощающих представлений, позволяющих легче представить такую поверхность и приближённо рассчитать поток через неё (а также в связи с этим вводятся некоторые дополнительные специальные понятия, подробно описанные в отдельном параграфе ниже). Однако здесь, при чисто теоретическом рассмотрении нет необходимости во введении каких-то дополнительных упрощающих представлений, достаточно просто заметить, что как бы ни был сложен контур, в данном параграфе мы имеем в виду «полный поток» — то есть поток через всю сложную (как бы многолистковую) поверхность, натянутую на все витки катушки (если речь идет о катушке), то есть о том, что называется потокосцеплением. Но поскольку нам здесь не надо конкретно рассчитывать его, а нужно только знать, что он пропорционален току, нам не слишком интересен конкретный вид поверхности, поток через которую нас интересует (ведь свойство пропорциональности току сохраняется для любой).

Итак, мы обосновали:

Φ {\displaystyle \Phi \ } ~ I , {\displaystyle \ I,}

этого достаточно, чтобы утверждать, введя обозначение L для коэффициента пропорциональности, что

Φ = L I . {\displaystyle \Phi =LI.}

В заключение теоретического обоснования покажем, что рассуждение корректно в том смысле, что магнитный поток не зависит от конкретной формы поверхности, натянутой на контур. (Действительно, даже на самый простой контур может быть натянута — в том смысле, что контур должен быть её краем — не единственная поверхность, а разные, например, начав с двух совпадающих поверхностей, затем одну поверхность можно немного прогнуть, и она перестанет совпадать со второй). Поэтому надо показать, что магнитный поток одинаков для любых поверхностей, натянутых на один и тот же контур.

Но это действительно так: возьмём две такие поверхности. Вместе они будут составлять одну замкнутую поверхность. А мы знаем (из закона Гаусса для магнитного поля), что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это (с учетом знаков) означает, что поток через одну поверхность и другую поверхность — равны. Что доказывает корректность определения.

> Свойства индуктивности

  • Индуктивность всегда положительна.
  • Индуктивность зависит только от геометрических размеров контура и магнитных свойств среды (сердечника).

Индуктивность одновиткового контура и индуктивность катушки

Величина магнитного потока, пронизывающего одновитковый контур, связана с величиной тока следующим образом:

Φ = L I {\displaystyle \displaystyle \Phi =LI}

где L {\displaystyle L} — индуктивность витка. В случае катушки, состоящей из N витков предыдущее выражение модифицируется к виду:

Ψ = L I {\displaystyle \displaystyle \Psi =LI}

где Ψ = ∑ i = 1 N Φ i {\displaystyle \Psi =\sum \limits _{i=1}^{N}{\Phi _{i}}} — сумма магнитных потоков через все витки (это так называемый полный поток, называемый в электротехнике потокосцеплением, именно он фигурирует в качестве магнитного потока вообще в случае для катушки в общем определении индуктивности и в теоретическом рассмотрении выше; однако для упрощения и удобства для многовитковых катушек в электротехнике пользуются отдельным понятием и отдельным обозначением), а L {\displaystyle L} — уже индуктивность многовитковой катушки. Ψ {\displaystyle \Psi } называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Коэффициент пропорциональности L {\displaystyle L} иначе называется коэффициентом самоиндукции контура или просто индуктивностью.

Если поток, пронизывающий каждый из витков одинаков (что довольно часто можно считать верным для катушки в более или менее хорошем приближении), то Ψ = N Φ {\displaystyle \Psi =N\Phi } . Соответственно, L N = L 1 N 2 {\displaystyle L_{N}=L_{1}N^{2}} (суммарный магнитный поток через каждый виток увеличивается в N раз — поскольку его создают теперь N единичных витков, и потокосцепление ещё в N раз, так как это поток через N единичных витков). Но в реальных катушках магнитные поля в центре и на краях отличаются, поэтому используются более сложные формулы.

Индуктивность соленоида

Катушка в форме соленоида (конечной длины).

Соленоид — катушка, длина которой намного больше, чем её диаметр (также в дальнейших выкладках подразумевается, что толщина обмотки намного меньше, чем диаметр катушки). При этих условиях и без использования магнитного сердечника плотность магнитного потока (или магнитная индукция) B {\displaystyle B} , которая выражается в системе СИ в тесла , внутри катушки вдали от её концов (приближённо) равна

B = μ 0 N i / l {\displaystyle \displaystyle B=\mu _{0}Ni/l}

или

B = μ 0 n i , {\displaystyle \displaystyle B=\mu _{0}ni,}

где μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} − магнитная постоянная, N {\displaystyle N} − число витков, i {\displaystyle i} − ток в амперах , l {\displaystyle l} − длина катушки в метрах и n {\displaystyle n} — плотность намотки витков в . Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим, что потокосцепление через катушку равно плотности потока B {\displaystyle B} , умноженному на площадь поперечного сечения S {\displaystyle S} и число витков N {\displaystyle N} :

Ψ = μ 0 N 2 i S / l = μ 0 n 2 i V , {\displaystyle \displaystyle \Psi =\mu _{0}N^{2}iS/l=\mu _{0}n^{2}iV,}

где V = S l {\displaystyle V=Sl} − объём катушки. Отсюда следует формула для индуктивности соленоида (без сердечника):

L = μ 0 N 2 S / l = μ 0 n 2 V . {\displaystyle \displaystyle L=\mu _{0}N^{2}S/l=\mu _{0}n^{2}V.}

Если катушка внутри полностью заполнена магнитным сердечником, то индуктивность отличается на множитель μ {\displaystyle \mu } — относительную магнитную проницаемость сердечника:

L = μ 0 μ N 2 S / l = μ 0 μ n 2 V . {\displaystyle \displaystyle L=\mu _{0}\mu N^{2}S/l=\mu _{0}\mu n^{2}V.}

В случае, когда μ >> 1 {\displaystyle \mu >>1} , под S можно понимать площадь сечения сердечника и пользоваться данной формулой даже при толстой намотке, если только полная площадь сечения катушки не превосходит площади сечения сердечника во много раз.

Таблица индуктивностей

Символ μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} обозначает магнитную постоянную (4π⋅10−7 Гн/м). В высокочастотном случае ток течёт в поверхности проводников (скин-эффект) и в зависимости от вида проводников иногда нужно различать индуктивность высокой и низкои частоты. Для этого служит постоянная Y: Y = 0, когда ток равномерно распределён по поверхности провода (скин-эффект), Y = 1⁄4, когда ток равномерно распределён по поперечному сечению провода. В случае скин-эффекта нужно учитывать, что при маленьких расстояниях между проводниками в поверхностях текут дополнительные вихревые токи (эффект экранирования), и выражения, содержащие Y, становятся неточными.

Коэффициенты самоиндукции некоторых замкнутых контуров

Вид Индуктивность
соленоид
с тонкой обмоткой
μ 0 r 2 N 2 3 l {\displaystyle {\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}}{3l}}\left}

= μ 0 r 2 N 2 π l {\displaystyle ={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left}
= μ 0 r 2 N 2 π l ( 1 − 8 w 3 π + w 2 2 − w 4 4 + 5 w 6 16 − 35 w 8 64 + . . . ) {\displaystyle ={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left(1-{\frac {8w}{3\pi }}+{\frac {w^{2}}{2}}-{\frac {w^{4}}{4}}+{\frac {5w^{6}}{16}}-{\frac {35w^{8}}{64}}+…\right)} для w << 1
= μ 0 r N 2 {\displaystyle =\mu _{0}rN^{2}\left} для w >> 1

N: Число витков
r: Радиус
l: Длина
w = r/l
m = 4w2
E,K: Эллиптический интеграл
Коаксиальный кабель,
высокая частота
μ 0 l 2 π ln ⁡ ( a 1 a ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {a_{1}}{a}}\right)} a1: Радиус
a: Радиус
l: Длина
единичный
круглый виток
μ 0 r ⋅ ( ln ⁡ ( 8 r a ) − 2 + Y + O ( a 2 / r 2 ) ) {\displaystyle \mu _{0}r\cdot \left(\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+Y+O\left(a^{2}/r^{2}\right)\right)} r: Радиус витка
a: Радиус проволоки
прямоугольник μ 0 π ( b ln ⁡ ( 2 b a ) + d ln ⁡ ( 2 d a ) − ( b + d ) ( 2 − Y ) + 2 b 2 + d 2 ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\ln \left({\frac {2b}{a}}\right)+d\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)-\left(b+d\right)\left(2-Y\right)+2{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}\right)}

− μ 0 π ( b ⋅ arsinh ⁡ ( b d ) + d ⋅ arsinh ⁡ ( d b ) + O ( a ) ) {\displaystyle \;\;-{\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {b}{d}}\right)+d\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {d}{b}}\right)+O\left(a\right)\right)}

b, d: Длины краёв
d >> a, b >> a
a: Радиус проволоки
Две параллельные
проволоки
μ 0 l π ( ln ⁡ ( d a ) + Y ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {d}{a}}\right)+Y\right)} a: Радиус проволоки
d: Расстояние, d ≥ 2a
l: Длина пары
Две параллельные
проволоки, высокая
частота
μ 0 l π arcosh ⁡ ( d 2 a ) = μ 0 l π ln ⁡ ( d 2 a + d 2 4 a 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)} a: Радиус проволоки
d: Расстояние, d ≥ 2a
l: Длина пары
Проволока параллельна
идеально проводящей
стене
μ 0 l 2 π ( ln ⁡ ( 2 d a ) + Y ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\left(\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)+Y\right)} a: Радиус проволоки
d: Расстояние, d ≥ a
l: Длина
Проволока параллельна
стене,
высокая частота
μ 0 l 2 π arcosh ⁡ ( d a ) = μ 0 l 2 π ln ⁡ ( d a + d 2 a 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)} a: Радиус проволоки
d: Расстояние, d ≥ a
l: Длина

> См. также

  • Взаимоиндукция
  • Соленоид
  • Катушка индуктивности
  • Индуктивный датчик

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *