Гистерезис

В физике

Наибольший интерес представляют магнитный гистерезис, сегнетоэлектрический гистерезис и упругий гистерезис.

Магнитный гистерезис

Семейство петель гистерезиса в координатах H-B (Напряжённость магнитного поля-Магнитная индукция) для текстурированной электротехнической стали при синусоидальном изменении полей со временем с амплитудами от −140 до 140 А/м, при этом индукция поля изменяется от −1,6 до 1,6 Тл. Точкой BR обозначена остаточная намагниченность, HC — коэрцитивная сила.

Магнитный гистерезис — явление зависимости вектора намагниченности и вектора напряжённости магнитного поля в веществе не только от приложенного внешнего поля, но и от предыстории данного образца. Магнитный гистерезис обычно проявляется в ферромагнетиках — Fe, Co, Ni и сплавах на их основе. Именно магнитным гистерезисом объясняется существование постоянных магнитов.

Явление магнитного гистерезиса наблюдается не только при изменении поля H по величине и знаку, но также и при его вращении (гистерезис магнитного вращения), что соответствует отставанию (задержке) в изменении направления M с изменением направления H. Гистерезис магнитного вращения возникает также при вращении образца относительно фиксированного направления H.

Теория явления гистерезиса учитывает конкретную магнитную доменную структуру образца и её изменения в ходе намагничивания и перемагничивания. Эти изменения обусловлены смещением доменных границ и ростом одних доменов за счёт других, а также вращением вектора намагниченности в доменах под действием внешнего магнитного поля. Всё, что задерживает эти процессы и способствует попаданию магнетиков в метастабильные состояния, может служить причиной магнитного гистерезиса.

В однодоменных ферромагнитных частицах (в частицах малых размеров, в которых образование доменов энергетически невыгодно) могут идти только процессы вращения M. Этим процессам препятствует магнитная анизотропия различного происхождения (анизотропия самого кристалла, анизотропия формы частиц и анизотропия упругих напряжений). Благодаря анизотропии, M как будто удерживается некоторым внутренним полем H A {\displaystyle H_{A}} (эффективным полем магнитной анизотропии) вдоль одной из осей лёгкого намагничивания, соответствующей минимуму энергии. Магнитный гистерезис возникает из-за того, что два направления M (по и против) этой оси в магнитоодноосном образце или несколько эквивалентных (по энергии) направлений М в магнитомногоосном образце соответствуют состояниям, отделённым друг от друга потенциальным барьером (пропорциональным H A {\displaystyle H_{A}} ). При перемагничивании однодоменных частиц вектор M рядом последовательных необратимых скачков поворачивается в направлении H. Такие повороты могут происходить как однородно, так и неоднородно по объёму. При однородном вращении M коэрцитивная сила H c ≈ H A {\displaystyle H_{c}\approx H_{A}} . Более универсальным является механизм неоднородного вращения M. Однако наибольшее влияние на H c {\displaystyle H_{c}} он оказывает в случае, когда основную роль играет анизотропия формы частиц. При этом H c {\displaystyle H_{c}} может быть существенно меньше эффективного поля анизотропии формы.

Сегнетоэлектрический гистерезис

Зависимость поляризации P {\displaystyle P} от напряжённости электрического поля E {\displaystyle E} в сегнетоэлектрике.

Сегнетоэлектрический гистерезис — неоднозначная петлеобразная зависимость поляризации P {\displaystyle P} сегнетоэлектриков от внешнего электрического поля E {\displaystyle E} при его циклическом изменении. Сегнетоэлектрические кристаллы обладают в определенном температурном интервале спонтанной (самопроизвольной, то есть возникающей в отсутствие внешнего электрического поля) электрической поляризацией P c {\displaystyle P_{c}} . Направление поляризации может быть изменено электрическим полем. При этом зависимость P {\displaystyle P} ( E {\displaystyle E} ) в полярной фазе неоднозначна, значение P {\displaystyle P} при данном E {\displaystyle E} зависит от предыстории, то есть от того, каким было электрическое поле в предшествующие моменты времени. Основные параметры сегнетоэлектрического гистерезиса:

  • остаточная поляризация кристалла P r {\displaystyle P_{r}} , при E = 0 {\displaystyle E=0}
  • значение поля E K t {\displaystyle E_{Kt}} (коэрцитивное поле) при котором происходит переполяризация

Упругий гистерезис

В теории упругости явление гистерезиса наблюдается в поведении упругих материалов, которые под воздействием больших давлений способны сохранять деформацию и утрачивать её при воздействии обратного давления (например, вытягивание сжатого стержня). Во многом именно это явление объясняет анизотропию механических характеристик кованых изделий, а также их высокие механические качества.

Различают два вида упругого гистерезиса — динамический и статический.

Динамический гистерезис наблюдают при циклически изменяющихся напряжениях, максимальная амплитуда которых существенно ниже предела упругости. Причиной этого вида гистерезиса является неупругость либо вязкоупругость. При неупругости, помимо чисто упругой деформации (отвечающей закону Гука), имеется составляющая, которая полностью исчезает при снятии напряжений, но с некоторым запаздыванием, а при вязкоупругости эта составляющая со временем исчезает не полностью. Как при неупругом, так и вязкоупругом поведении величина Δ U {\displaystyle \Delta U} — энергия упругой деформации — не зависит от амплитуды деформации и меняется с частотой изменения нагрузки. Также динамический гистерезис возникает в результате термоупругости, магнитоупругих явлений и изменения положения точечных дефектов и растворённых атомов в кристаллической решётке тела под влиянием приложенных напряжений.

В электронике и электротехнике

Петля гистерезиса для триггера Шмитта имеет прямоугольный вид.

В электронике и электротехнике используются устройства, обладающие магнитным гистерезисом — различные магнитные носители информации, или электрическим гистерезисом, например, триггер Шмитта или гистерезисный двигатель.

Гистерезис используется для подавления шумов (быстрых колебаний, дребезга контактов) в момент переключения логических сигналов.

В электронных приборах всех видов наблюдается явление теплового гистерезиса: после нагрева прибора и его последующего охлаждения до начальной температуры его параметры не возвращаются к начальным значениям. Из-за неодинакового теплового расширения кристаллов полупроводников, кристаллодержателей, корпусов микросхем и печатных плат в кристаллах возникают механические напряжения, которые сохраняются и после охлаждения. Явление теплового гистерезиса наиболее заметно в прецизионных источниках опорного напряжения, используемых в измерительных аналого-цифровых преобразователях. В современных микросхемах относительный сдвиг опорного напряжения вследствие теплового гистерезиса составляет порядка 10—100 ppm.

В экономике

Некоторые экономические системы проявляют признаки гистерезиса: например, могут потребоваться значительные усилия, чтобы начать экспорт в какой-либо отрасли, но для его поддержания на постоянном уровне — небольшие.

В теории игр эффект гистерезиса проявляется в том, что небольшие отличия по одному или нескольким параметрам приводят две системы в противоположные стабильные равновесия, например, «хорошее» — доверие, честность и высокое благосостояние; и «плохое» — воровство, недоверие, коррупция и бедность. Несмотря на небольшие первоначальные различия, системы требуют огромных усилий для перехода из одного равновесия в другое.

Эффект гистерезиса — состояние безработицы; достигнув достаточно высокого уровня, она может в определенной мере самовоспроизводиться и удерживаться на нём. Экономические причины гистерезиса (долгосрочной негибкости рынка труда) неоднозначны. Некоторые институциональные факторы ведут к гистерезису. Например, социальное страхование, особенно страхование по безработице, может через налоговую систему снижать спрос фирм на рабочую силу в официальной экономике.

Безработица может вести к потере человеческого капитала и к «помечиванию» тех, кто долгое время остается безработным. Профсоюзы могут вести переговоры с целью поддерживать благосостояние их настоящих членов, игнорируя интересы аутсайдеров, оказавшихся безработными. Фиксированные издержки, связанные со сменой должности, места работы или отрасли, также могут приводить к гистерезису.

Наконец, возможны трудности при различении реальных и кажущихся явлений гистерезиса, когда конечное состояние системы определяется её текущей динамикой или её начальным состоянием. В первом случае гистерезис отражает наше незнание: добавив недостающие переменные и информацию, можно более полно описать эволюцию изучаемой системы. Др. интерпретация явления гистерезиса — простое существование нескольких состояний равновесия, когда невидимые воздействия перемещают экономику из одного состояния равновесия в др.

В социологии

Формирование общественного мнения и управление им никогда не осуществляется мгновенно. Всегда есть какая-то задержка. Это связано с полным или частичным отказом от стереотипного традиционного мышления и необходимостью «поддаться» в определенных случаях переубеждению и следованию новым взглядам, которые формируются определенными субъектами. В качестве субъектов формирования общественного мнения и управления им могут выступать государство, партии, общественные организации, их лидеры, руководители и управленцы различного уровня и др.

В характере формирования общественного мнения важно учитывать два существенных обстоятельства.

Одно из них указывает на взаимосвязь приложенных усилий субъектом влияния и достигнутым результатом. Уровень затраченной субъектом просветительской и пропагандистской работы можно соотносить с уровнем «намагниченности» (степенью вовлеченности в новую идею) объекта-носителя общественного мнения, социальную группу, коллектив, социальную общность или общество в целом; при этом может обнаружиться некоторое отставание объекта от субъекта. Переубеждение, в том числе с предполагаемыми деструктивными последствиями, далеко не всегда проходит успешно. Оно зависит от собственных моральных ценностей, обычаев, традиций, характера предыдущего воспитания, от этических норм, доминирующих в обществе и т. д.

Второе обстоятельство связано с тем, что новый этап формирования общественного мнения можно соотносить с историей объекта, его опытом, его оценкой теми, кто ранее выступал объектом формирования общественного мнения. При этом можно обнаружить, что «точка отсчёта» времени формирования общественного мнения смещается относительно прежней, что является характеристикой самой системы и её текущего состояния.

> В философии

Жиль Делёз использует понятие гистерезиса при характеристике монадологии Лейбница.

Математические модели гистерезиса

Появление математических моделей гистерезисных явлений обуславливалось достаточно богатым набором прикладных задач (прежде всего в теории автоматического регулирования), в которых носители гистерезиса нельзя рассматривать изолированно, поскольку они являлись частью некоторой системы. В 1960-х годах в Воронежском университете начал работать семинар под руководством М. А. Красносельского, на котором создавалась строгая математическая теория гистерезиса.

Позднее, в 1983 году появилась монография М. А. Красносельского и А. В. Покровского, в которой различные гистерезисные явления получили формальное описание в рамках теории систем: гистерезисные преобразователи трактовались как операторы, зависящие от своего начального состояния как от параметра, определённые на достаточно богатом функциональном пространстве (например, в пространстве непрерывных функций), действующие в некотором функциональном пространстве. Параметрическое описание различных петель гистерезиса предложено в работе Р. В. Лапшина. Помимо классических петель замена в данной модели гармонических функций на трапецеидальные или треугольные импульсы позволяет получить кусочно-линейные петли гистерезиса, которые часто встречаются в задачах дискретной автоматики. Имеется реализация модели гистерезиса на языке программирования R (пакет Hysteresis).

Формула петли гистерезиса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доклады БГУИР

2011 № 7 (61)

УДК 621.317.846

ФОРМУЛА ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА

В.М. ИЛЬИН

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь

Поступила в редакцию 24 января 2011

Получена формула петли гистерезиса, основанная на использовании нетрадиционного решения квадратных уравнений с вещественными коэффициентами. Это позволяет по-новому описать ординаты неоднозначных характеристик, упростить и повысить точность учета гистерезиса.

Ключевые слова: петли гистерезиса, границы участков, петли тригонометрических функций.

Введение

Для получения формулы применены понятия: 1) особые значения аргумента й; 2) части петли гистерезиса 1^1У (см. рис. 1 и 2); 3) участки ветвей петли. Особые значения аргумента й — это 0, ±йс, ±1. Им соответствуют ординаты ветвей, обычно применяющиеся при описании ферромагнетиков. Четыре части петли выделены между вертикалями, проходящими через особые значения й и охватывают всю площадь петли с учетом ее симметрии (см. рис. 1 и 2). Участки ветвей, (их восемь), ограничиваются теми же вертикалями, что разделяют ветви на закономерные составные части.

При перемагничивании ферромагнетика магнитодвижущей силой й степень его намагничивания, т.е. интенсивность ориентации его доменов в положительном или отрицательном направлении, отображается величиной и знаком ординат петли гистерезиса. Причем только два ее участка (из восьми) отображают процесс намагничивания ферромагнетика — рост его индукции Ь.

Первый участок соответствует росту й от йс до 1, порождает нелинейный рост индукции от 0 до 1 (рис. 2). Это синусный участок — один из четырех синусных участков, входящих в нижнюю ветвь петли гистерезиса. Три предшествующих ему синусных участка соответствуют изменению й от -1 до +йс, т.е. снижению индукции от -1 до 0 и отображают процесс размагничивания ферромагнетика.

Второй участок намагничивания имеет место при росте й в отрицательном направлении от -йс до -1. Ему соответствует рост индукции от 0 до -1. Это косинусный участок — один из четырех косинусных участков — принадлежащих верхней ветви петли. Три предшествующих ему косинусных участка соответствуют изменению й от 1 до -йс, т.е. снижению индукции от 1 до 0, также отображают размагничивание ферромагнетика (рис. 2).

Таким образом, перемагничивание ферромагнетика осуществляется в следующем порядке: если й возрастает от йс до 1, индукция нелинейно растет от 0 до 1, ферромагнетик намагничивается в положительном направлении. Затем при изменении й от 1 до -йс индукция, сохраняя свое положительное направление, убывает от 1 до 0 — ферромагнетик полностью размагничивается (рис. 4). Далее при изменении й от -йс до -1 индукция возрастает от 0 до -1 -ферромагнетик намагничивается в отрицательном направлении. После этого при изменении й от -1 до йс индукция, сохраняя свое отрицательное направление, убывает от -1 до 0 — ферромагнетик опять полностью размагничивается (рис. 4). Далее все повторяется. При этом для

всех петель проявляются закономерности: намагничивание ферромагнетика в положительном или отрицательном направлении (синусный или косинусный участок) осуществляется в пределах только одной части петли гистерезиса (I или IV), а его размагничивание производится в трех частях (I, II, III или IV, III, II), при этом изменение направления индукции происходит только в особых точках ±ИС (рис. 2). 1,2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

03 0.6 0.4 0.2 о ■0.2 -0-4 -0.6 -0.3 ■1

Л2Л -0.3 -0.6 -0.4 -0 2 0 0.2 0.4 0.6 0 3 1

Рис. 1. Идеальная нормированная прямоугольная характеристика с ее геометрическими ^, Y2, ±hc, ±ЬГ) и

тригонометрическими (А, cos45°, sin45°) параметрами

1 ■ 1 1 <1 £ ! 1 УиУ* ■

1 Т2 еоз4Б° :

к

; и \ > к I

0 : Нс

—Не ш

: IV \ 1 1 III 1 г

: <¡»¡46° : 1 72

зт45° ; 8 ¡11 46°

ВД : 1 1 ]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

• ■ 1 ■ ■ 1 ‘ 1 1 ■ ь7~

1 /

— \ и ! !

1 у

п / С 1 / ч* V

А-к I Уг ……………*………….-

\ 1 1 111

/IV 1 1 1

Уза\ — 1 __-Ьг_ 1 ■ 1

Рис. 2. Части петли гистерезиса с участками ее ветвей, задаваемых особыми симметричными значениями аргумента Ь. 0, ±1

о.а

о 4

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-0 4

■0.6

1 1 \ ‘ / 1 ЯШ ** ^ Ь 1 Г^’,__—Н соа(«-43°) / %

/ 1 /\ Ъ ……/ …… у ,, х.

/ /

/ / / Ж……… / / ■ / …………… /……..У ../……….

/ / / / /А:_______________ ;/ / /V £

0 / / К !/ . ■

………/ / А / Л /у* п ■

^ / V’ / „ / / Г л/,/ с/ / у………… /

/ / 1 г ……/…….. / / / / /: / … / .;.. ../……. ■

/ : / Г ! X / /…………. ■

у* /

……………………………………… • ‘ -6, ■ ! . ‘ ■ ■

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 £) 0.2 0.4 0.6 0.0 Рис. 3. Диаграмма моделирующих тригонометрических функций Л, cos(a — 45°), sin(a — 45°),

совмещенная с петлей гистерезиса

1 1 1 Г 1 1 _ ¡Пс …….1……. — / / / ……/…..

1 1 1 / / / /

II ] 1 1 / / /

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 1 ] //

71 / 0 …….I» ‘ V 1 / ^ V

/ : { …………………………/…… | /

с:/!

/ / / ш

/ / / IV-

…..л…… / ■ / /___

-О.а -0.6 £.4 -0.2 О 0.2 04 0.6

Рис. 4. Диаграмма шести участков размагничивания с хордами (штрихи) двух участков

намагничивания ферромагнетика

Диаграмма расчетных тригонометрических функций

Ранее показана прямая связь между ординатами петли гистерезиса и соответствующими им корнями частных уравнений (2)-(6). В дополнение к этой статье дано решение этих уравнений нетрадиционным методом. Для особых значений к общее решение порождает соотношения (рис. 3):

h = 1,

Y = Y2 = 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

a = 42,

cos a =

sin a =

VI’ V2

h = h , Y = Y , Y = 0, A = Y , cos a = 1, sin a = 0;

с 7 1 1c 7 2 7 1c’ 7 7

h = 0, Y = b , Y =-b , A =yfIb

7 1 r7 2 r7 * ,

cos a =

sin a = —

(1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

h = -h , Y = 0, Y = Y , A = \Y„

c 1 2 2c 2c

cos a = 0,

sin a = -1;

h = -1, Y = y2 = -1,

= VI,

cos a = —

, sin a = — r V2 V2

Эти соотношения дают основание сформулировать теорему: все участки ветвей нормированных петель гистерезиса имеют одинаковые интервалы значений расчетных тригонометрических функций, несмотря на различные интервалы аргумента h.

Для доказательства теоремы установим связь особых значений h с величинами косинусов и синусов обобщенных углов а0, включающих постоянные начальные фазы и текущие величины:

1 1

h = 1, cos a 0 = —1=, sin a 0 =—-r=, a 0 = 45;

V2 V2

h = h , cos a = 1,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

sin a 0 = 0,

a 0 = 0°;

h = 0,

cos a 0 =

V2′

sin a 0 = —

a = -45°;

(2)

h =-h , cos a = 0, sin a =-1, a =-90°;

с 7 0 7 0 7 0 7

1 1 °

h =-1, cos a0 =—1=, sin a0 =—¡=, a0 =-135 .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V2 V2

В свернутом виде эту связь можно записать для верхней и нижней ветвей петли гистерезиса как:

cos(-45° ±a), sin(-45° ±a),

(3)

где а отсчитывается от центра петли гистерезиса вправо, принимая значения 0, +45 , +90 , и влево, принимая значения -45о, -90о.

Это дает для верхней (косинусной) ветви петли при:

h = 0, a = 0°, cos(-45°) =—¡=;

h = h , a = 45°, cos 0° = 1;

h = 1,

a = 90°

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

cos 45° =

S’

h = -h, a = -45°, cos(-90°) = 0;

h = -1, a = -90°, cos(-135°) = —

Для нижней (синусной) ветви петли при:

h = 0, h = h

с

h = 1,

a = 0°, sin( -45°) = —

a = 45°, sin 0° = 0;

a = 90°

sin 45° =

h = -hc, a = -45°, sin(-90°) =-1;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(4)

(5)

h = -1, a = -90°, sin(-135°) = —

V2″

Из (4) и (5) следует, что разность углов концов участков и первой, и второй ветвей одна и та же для тригонометрических функций всех петель гистерезиса:

45° — 0° = 45°, 0 — (-45°) = 45°, -45° — (-90°) = 45°, -90° — (-135°) = 45°.

(6)

Такая разность углов тригонометрических функций порождает отличие начала и конца

участков косинуса и синуса на —¡= = const.

Вместе с (6) это является доказательством теоремы. Из рассмотренных соотношений можно сделать также следующие выводы:

1) диаграмма тригонометрических функций, как и петля гистерезиса, является замкнутой кривой (рис. 3);

2) она полностью описывается аналитически;

3) при любом значении h имеет место соотношение cos2 a + sin2 a = 1;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4) проекции интервалов cos a и sin a на ось аргумента h совпадают с его интервалами;

5) диаграмма имеет симметрию относительно центра петли гистерезиса.

Формула ветвей петли гистерезиса

На рис. 4 выделены участки петли гистерезиса, их шесть, которые отображают процесс размагничивания ферромагнетика после достижения им максимальной индукции в положительном (Ь = +1) или отрицательном (Ь = — 1) направлении. При этом в обоих случаях индукция спадает от максимальной величины (±1) до 0, сохраняя направление предшествующего максимума. В этом процессе, однако, есть принципиально отличающиеся этапы: на участках I и II, а также III и IV спад индукции происходит в условиях спада магнитодвижущей силы h от ±1 до 0, что не ускоряет размагничивание ферромагнетика. Вместе с инерционностью его доменов это приводит, как видно из рис. 4, к почти линейному снижению индукции от ±1 до ±ЬГ..

Потом наступает принципиально новый, второй этап размагничивания. В особой точке 0 меняется направление магнитодвижущей силы к, которая, возрастая до + hc, интенсивно воздействует на трудно ориентируемые домены, возвращая их в нейтральное положение. Индукция при этом на участке III или II круто снижается от ±ЬГ до 0 нелинейно. Ферромагнетик интенсивно размагничивается. При дальнейшем росте h до +1 индукция нелинейно возрастает от 0 до -1 (косинусный участок) или от 0 до -1 (нелинейный синусный участок) (см. выше).

Предлагаемый метод моделирования петли гистерезиса основан на разделении ее на восемь участков (рис. 2), описание которых возможно с помощью простых формул. Заметим также, что оба близких к линейным промежутка размагничивания 1+- ЬГ и -1+- -ЬГ «обратимого вращения намагниченности» разделяются ординатами У1с и У2с на два участка, еще более близких к линейным (Рис. 4). Для петли с коэффициентом прямоугольности равным 1 они строго линейны (рис. 1). Таким образом, петля гистерезиса содержит два близких к линейным косинусных и два таких же синусных участка, которым соответствуют по два нелинейных синусных и по два нелинейных косинусных участка (рис. 2 и 4).

Это дает возможность представить простыми соотношениями ординаты линейных участков, а через них, с помощью тригонометрических функций, отобразить ординаты нелинейных участков, то есть определить все ординаты петли гистерезиса.

Участки I и II верхней ветви петли гистерезиса — два отрезка прямых, каждый из которых размещен между двумя заданными точками (рис. 4): первый между точками с координатами (1, 1) и (кс,У\с), второй — между точками с координатами (кс, ^с) и (0, ЬГ). Для первого и второго участков получим:

Y — Y

-4,1 1С

1 — Y,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Y|,n — К Ylc — К

h — hC 1 — h

откуда

YU1 = (h — he)

— Y ^ V 1 — he J

+ Y,r

(7)

Y1,ii =-(Y1e — К) + К h

Аналогично можно представить участки III и ^ нижней ветви петли: третий — с координатами (-кс, У2с) и (0, -ЬГ), четвертый — с координатами (-1, -1) и (кс, У2с). Откуда получим:

Y2,ni = h

U — Y ^

г 2С

V -he J

— b

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Y2,1V = (h + hC)

С Y — О

2C ±

V hc — 1 J

(8)

По формулам (7) и (8) определяются непосредственно ординаты четырех участков петли с учетом их границ. При конкретно заданных ±hyi, ±hc, ±br, Yic, Y2c связь между ординатами этих участков и аргументом h выражается через простые коэффициенты, что упрощает расчет.

Для определения ординат четырех нелинейных участков петли гистерезиса используем соотношения : Yl= A cos a, Y2 = A sin a , откуда

A=-i

cos a

y2=-

cos a

• sin a = Y tg a ; и A = —

sin a

sin a

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

• cos a = Y2 ctg a .

На участке I в соответствии с (3) косинус и синус имеют углы границ 45о и 0. Значение этих же углов имеет отношение функций, то есть tg 45о и tg 0. Таким образом, ординаты первого нелинейного — синусного участка равны:

У2Л = Ylltg a,, где ai=0-45°. (9)

На участке II в соответствии с (3) косинус и синус имеют углы границ 0 и -45о. Значение этих углов имеет и тангенс этого нелинейного участка. Следовательно, его ординаты:

Y2 II = Y1II tg ап , где an=0, -45о.

На участке III ординаты нижней ветви определяем по формуле (8), далее находим ординаты верхней ветви этого участка по соотношению:

y1,iii = «Т^^ • C0S а III = Y2,III Ctg а III (10)

sin aIn

Ординаты четвертого участка нижней ветви петли гистерезиса Y2,iV определяем по формуле (8), а через них находим ординаты верхней ветви этого участка:

cos a

y1 IV = y2 IV Ctg aIV , где Ctg aiV = «—(11)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

sin aIV

Таким образом, определяются все ординаты петли гистерезиса в пределах восьми ее участков, как здесь кратко изложено. В зависимости от характера решаемых задач их можно использовать по отдельным участкам или же объединять. Если необходимо определить, например, площадь петли гистерезиса, которая, как известно, пропорциональна потерям энергии на перемагничивание ферромагнетика, и тем самым проанализировать потери, площадь проще определять по участкам MV или даже по двум участкам I и II и удвоить с учетом симметрии петли. Для первого участка она моет быть представлена с учетом (7) и (9) в сокращенной исходной записи как

Y1,i » Y1,ii = Y1,i » Y,,, tg a, = Y,,i(1 — tg a,) (12)

с учетом того, что периметры площадок, ограниченных частью верхней ветви (Yi,i) и частью нижней ветви (Y2I), предопределены параметрами петли. Аналогично можно записать для второй части петли:

— y2,ii = Ъ — Ъ tg a II = y1,ii(1 — tg a ii) (13)

Так что общая площадь петли гистерезиса может быть представлена через соотношение:

S = 2 |Xi(1 — tg a i) + Y1,ii(1 — tg a,,) ]

что дает с учетом (12) предпосылку вычисления площади с помощью определенных интегралов. Предполагается также изучение возможности использования изложенного метода, в частности, для анализа работы ферромагнетиков при воздействии магнитодействующей силы -функции времени.

Заключение

По-новому определены ординаты петли гистерезиса. Основа метода — нетрадиционное решение квадратных уравнений, описывающих ординаты. Введены понятия: особые значения аргумента Л; части петли гистерезиса МУ; ее участки. Доказана теорема об общности свойств тригонометрических функций для них. Намечены пути использования метода.

THE FORMULA OF THE LOOP OF THE HYSTERESIS

V.M. ILYIN Abstract

Литература

1. Ильин В.М. // Докл. БГУИР. 2006. №2. С. 57-63.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Ильин В.М. // Докл. БГУИР. 2009. №3. С. 41-45.

3. ЖевнякР., КарпукА. Высшая математика, учебник. Минск, 1992.

Гистерезис в электротехнике

Дата публикации: 12 августа 2013.
Категория: Электротехника.

Рассмотрим процесс переменного намагничивания ферромагнитного материала. Для этой цели намотаем на стальной сердечник обмотку и будем по ней пропускать постоянный ток. Предположим, что сердечник электромагнита ранее не был намагничен.

Увеличивая проходящий по виткам обмотки ток I от нуля, мы тем самым будем увеличивать намагничивающую силу и напряженность поля H. Величина магнитной индукции B в сердечнике будет также увеличиваться. Кривая намагничивания 0а на рисунке 1 имеет прямолинейную часть, а затем вследствие насыщения кривая поднимается медленно, приближаясь к горизонтали. Если теперь, достигнув точки а, уменьшать H, то будет уменьшаться и B. Однако уменьшение B при уменьшении H, то есть при размагничивании, будет происходить с запаздыванием по отношению к уменьшению H. Величина остаточной индукции при H = 0 характеризуется отрезком 0б.

Рисунок 1. Петля гистерезиса

Для того чтобы магнитная индукция в сердечнике стала равной нулю, необходимо намагничивать материал в обратном направлении, то есть перемагнитить его. Для этой цели направление тока в обмотке меняется на обратное. Направление магнитных линий и напряженности магнитного поля также изменяется. При напряженности поля H = 0в индукция в сердечнике равна нулю и материал сердечника полностью размагничен. Значение напряженности поля H = 0в при B = 0 является определенной характеристикой материала и называется задерживающей (коэрцитивной) силой.

Повторяя процесс перемагничивания, мы получаем замкнутую кривую а б в г д е а, которая называется петля гистерезиса или петля магнитного гистерезиса. Гистерезис от греческого – отстающий, запаздывающий. На этом опыте легко убедиться, что намагничивание и размагничивание сердечника (появление и исчезновение полюсов, магнитной индукции или магнитного потока) отстают от момента появления и исчезновения намагничивающей и размагничивающей силы (тока в обмотке электромагнита). Явление гистерезиса можно иными словами охарактеризовать как отставание изменений магнитной индукции от изменений напряженности поля. Перемагничивание материала связано с затратой некоторого количества энергии, которая выделяется в виде тепла, нагревающего материал.

Магнитный гистерезис особенно сильно сказывается, если материал сердечника обладает большим остаточным магнетизмом (например, твердая сталь). Явление гистерезиса в большинстве случаев вредно. Оно вызывает потери на гистерезис выраженные в нагреве сердечника и лишних затратах мощности источника напряжения, а также сопровождается гудением сердечника вследствие перемены полярности и поворотов элементарных частиц материала сердечника.

Первое серьезное исследование процессов намагничивания стали было проведено Александром Григорьевичем Столетовым (1839 – 1896) в 1872 году и опубликовано в работе «О функции намагничивания мягкого железа».

А. Г. Столетов, кроме того, исследовал и объяснил природу внешнего фотоэффекта и изготовил первый фотоэлемент.

Видео 1. Гистерезис

Источник: Кузнецов М. И., «Основы электротехники» – 9-е издание, исправленное – Москва: Высшая школа, 1964 – 560с.

Значения слова гистерезис. Что такое гистерезис?

Гистерезис

Гистере́зис (греч. ὑστέρησις — отстающий) — свойство систем (физических, биологических и т. д.), мгновенный отклик которых на приложенные к ним воздействия зависит в том числе и от их текущего состояния…

ru.wikipedia.org

ГИСТЕРЕЗИС (от греч. hysteresis — отставание) — запаздывание изменения физической величины, характеризующей состояние вещества (намагниченности М ферромагнетика, поляризации P сегнетоэлектрика и т. п.), от изменения другой физической величины…

Большой энциклопедический словарь

ГИСТЕРЕЗИС (от греч. hysteresis — отставание, запаздывание), явление, к-рое состоит в том, что физ. величина, характеризующая состояние тела (напр., намагниченность), неоднозначно зависит от физ. величины, характеризующей внеш. условия…

Физическая энциклопедия. — 1988

Гистерезис магнитный

Гистерезис магнитный так назвал Юинг весьма важное свойство железа во всех наблюдаемых в нем магнитных явлениях «опаздывать», или, лучше, отставать по фазе (а не по времени только) от причин, производящих эти явления.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — 1890-1907

Гистерезис смачивания

Гистерезис смачивания — гистерезис, проявляющийся при смачивании: краевой угол в точке соприкосновения поверхности жидкости с сухой поверхностью твердого тела имеет величину большую, чем при соприкосновении с поверхностью того же тела…

https

Гистерезис смачивания — гистерезис, проявляющийся при смачивании: краевой угол в точке соприкосновения поверхности жидкости с сухой поверхностью твердого тела имеет величину большую, чем при соприкосновении с поверхностью того же тела…

Толковый словарь по почвоведению. — М.,1975.

Гистерезис капиллярный

Гистерезис капиллярный — гистерезис, проявляющийся при капиллярном подъеме воды в сухой п.: даже при полной смачиваемости поверхности почвенных частиц вода в капиллярах останавливается на меньшей высоте, чем та…

https

Гистерезис капиллярный — гистерезис, проявляющийся при капиллярном подъеме воды в сухой п.: даже при полной смачиваемости поверхности почвенных частиц вода в капиллярах останавливается на меньшей высоте, чем та…

Толковый словарь по почвоведению. — М.,1975.

ГИСТЕРЕЗИС/ОТСТАВАНИЕ ФАЗ

ГИСТЕРЕЗИС/ОТСТАВАНИЕ ФАЗ — (hysteresis) Запаздывание в изменениях переменных системы относительно смены явлений, вызывающих эти изменения. В экономике это относится к предположению…

Словарь бизнес терминов. — 2001

Гистерезис гидросорбционный

Гистерезис гидросорбционный — гистерезис, проявляющийся в отношении почвенной влаги: при одном и том же ее потенциале (давлении) п. содержит различные количества влаги, в зависимости от того, происходит иссушение почвы или ее увлажнение.

https

Гистерезис гидросорбционный — гистерезис, проявляющийся в отношении почвенной влаги: при одном и том же ее потенциале (давлении) п. содержит различные количества влаги, в зависимости от того, происходит иссушение почвы или ее увлажнение.

Толковый словарь по почвоведению. — М.,1975.

Механический гистерезис

Механический гистерезис Mechanical hysteresis — Механический гистерезис. Энергия, поглощенная в полном цикле нагружения и разгружения в области предела упругости и представленная замкнутым контуром кривых зависимости деформаций от напряжения для…

Металлы и сплавы. Справочник. — 2003

Русский язык

Гистере́зис, -а.

Орфографический словарь. — 2004

  • Слова из слова «гистерезис»
  • Слова на букву «г»
  • Слова, начинающиеся на «ги»
  • Слова c буквой «с» на конце
  • Слова c «ис» на конце
  • Слова, начинающиеся на «гис»
  • Слова, начинающиеся на «гист»
  • Слова, оканчивающиеся на «зис»
  • Слова, заканчивающиеся на «езис»

> В гидрологии

Зависимость Q=f(H) — связь расходов и уровней воды в реках — имеет петлеобразную форму.

> В философии

Жиль Делёз использует понятие гистерезиса при характеристике монадологии Лейбница.

В Викисловаре есть статья «гистерезис»

  • Что такое гистерезис? — о магнитном гистерезисе

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *