Емкость кабеля

Электрическая ёмкость

Классическая электродинамика

Электричество · Магнетизм

Ковариантная формулировка

См. также: Портал:Физика

Электрическая ёмкость

C {\displaystyle C}

Размерность

Единицы измерения

СИ

фарад

СГС

сантиметр

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника. Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками.

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, в системе СГС — в сантиметрах.

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

C = Q φ , {\displaystyle C={\frac {Q}{\varphi }},}

где Q {\displaystyle Q} — заряд, φ {\displaystyle \varphi } — потенциал проводника.

Ёмкость определяется геометрическими размерами и формой проводника и электрическими свойствами окружающей среды (её диэлектрической проницаемостью) и не зависит от материала проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса R равна (в системе СИ):

C = 4 π ε 0 ε r R , {\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,}

где ε0 — электрическая постоянная, равная 8,854⋅10−12 Ф/м, εr — относительная диэлектрическая проницаемость.

Понятие ёмкости также относится к системе проводников, в частности, к системе двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом, — к конденсатору. В этом случае ёмкость (взаимная ёмкость) этих проводников (обкладок конденсатора) будет равна отношению заряда, накопленного конденсатором, к разности потенциалов между обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

C = ε 0 ε r S d , {\displaystyle C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}},}

где S — площадь одной обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), d — расстояние между обкладками, εr — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇2φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)

Вид Ёмкость
Плоский конденсатор ε S 4 π d {\displaystyle {\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}} S: Площадь
d: Расстояние
Коаксиальный кабель 2 π ε l ln ⁡ ( R 2 / R 1 ) {\displaystyle {\frac {2\pi \varepsilon l}{\ln \left(R_{2}/R_{1}\right)}}} l: Длина
R1: Радиус
R2: Радиус
Две параллельные проволоки π ε l arcosh ⁡ ( d 2 a ) = π ε l ln ⁡ ( d 2 a + d 2 4 a 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi \varepsilon l}{\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\pi \varepsilon l}{\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}} a: Радиус
d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене 2 π ε l arcosh ⁡ ( d a ) = 2 π ε l ln ⁡ ( d a + d 2 a 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {2\pi \varepsilon l}{\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {2\pi \varepsilon l}{\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}} a: Радиус
d: Расстояние, d > a
l: Длина
Две параллельные
копланарные полосы
ε l K ( 1 − k 2 ) K ( k ) {\displaystyle \varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K\left(k\right)}}} d: Расстояние
w1, w2: Ширина полос
km: d/(2wm+d)

k2: k1k2
K: Эллиптический интеграл
l: Длина

Два концентрических шара 4 π ε 1 R 1 − 1 R 2 {\displaystyle {\frac {4\pi \varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}} R1: Радиус
R2: Радиус
Два шара,
тот же самый радиус
2 π ε a ∑ n = 1 ∞ sinh ⁡ ( ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) sinh ⁡ ( n ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) {\displaystyle 2\pi \varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}}
= 2 π ε a { 1 + 1 2 D + 1 4 D 2 + 1 8 D 3 + 1 8 D 4 + 3 32 D 5 + O ( 1 D 6 ) } {\displaystyle =2\pi \varepsilon a\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}}
= 2 π ε a { ln ⁡ 2 + γ − 1 2 ln ⁡ ( d a − 2 ) + O ( d a − 2 ) } {\displaystyle =2\pi \varepsilon a\left\{\ln 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}}
a: Радиус
d: Расстояние, d > 2a
D = d/2a
γ: Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены 4 π ε a ∑ n = 1 ∞ sinh ⁡ ( ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) sinh ⁡ ( n ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) {\displaystyle 4\pi \varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}} a: Радиус
d: Расстояние, d > a
D = d/a
Шар 4 π ε a {\displaystyle 4\pi \varepsilon a} a: Радиус
Круглый диск 8 ε a {\displaystyle 8\varepsilon a} a: Радиус
Тонкая прямая проволока,
ограниченная длина
2 π ε l Λ { 1 + 1 Λ ( 1 − ln ⁡ 2 ) + 1 Λ 2 + O ( 1 Λ 3 ) } {\displaystyle {\frac {2\pi \varepsilon l}{\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}} a: Радиус проволоки
l: Длина
Λ: ln(l/a)

> Эластанс

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ.

> См. также

  • Квантовая ёмкость

> Примечания

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

ОСНОВЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАСЧЕТА КАБЕЛЕЙ И ПРОВОДОВ

Емкость одножильного и отдельных экранированных жил много­жильного кабеля, включая радиочастотные кабели (рис. 2-6),

Емкость кабелей измеряют и нормируют в микрофарадах

(10–6 ф), нанофарадах (10–9 ф) и пикофарадах (10–12 ф) на 1 км или 1 м.

Емкость радиочастотных коаксиальных кабелей с многопрово­лочным внутренним проводником

где k3=0,98/0,99—коэффициент, учитывающий форму внешнего про­водника и представляющий собой отношение емкости кабеля с внеш­ним (Проводником в форме оплетки к емкости кабеля с.внешним про­водником в форме сплошной трубы; dэ — эквивалентный диаметр, мм. Емкость одной жилы двухжильного кабеля в общей металличе­ской оболочке и одной жилы симметричного экранированного радиочастотного кабеля (обе жилы имеют равные по величине, но противоположные по знаку потенциалы)

Если же оба провода находятся под одним и тем же потенциалом

Емкость двухжильного кабеля в общих металлической оболочке или экране может быть определена из частичных емкостей (рис. 1-14) по формуле:

где С1 — емкость между жилами А и В, соединенными с оболочкой или экраном; С12 — емкость жил А и В, соединенных вместе против оболочки и экрана; l — длина кабеля, м.

Емкость неэкранированного двухжильного (симметричного) ка­беля

Рабочая емкость жилы трехжильного кабеля (рис. 2-6):

Емкость трехжильных кабелей с секторными жилами может быть приближенно определена по этим же формулам с заменой сек­торных жил круглыми, но с сечением, увеличенным на 50% при той же толщине изоляции.

Емкость трехжильного кабеля с поясной изоляцией в общей ме­таллической оболочке или в экране выражается через частичные емкости между жилами и каждой жилы относительно оболочки кабеля (рис. 2-6). Вследствие симметрии жил С10=С20=С30 и С12 = C23 = C13. Емкость каждой жилы относительно двух других жил, соединенных с оболочкой (или экраном):

Емкость двух жил, соединенных вместе, относительно третьей жилы, соединенной с оболочкой (или экраном):

Емкость всех трех соединенных вместе жил относительно обо­лочки (или экрана):

Рабочая емкость трехжильного кабеля при трехфазном токе

Частичные емкости: между двумя жилами

между жилой и оболочкой (или экраном)

Емкостное реактивное сопротивление кабеля

где С — емкость кабеля, ф/км.

Емкостная проводимость

Емкость групп кабелей связи в общем виде с учетом системы скрутки и величины укрутки жил:

ψ — поправочный коэффициент, характеризующий удаление жил от заземленной оболочки или экрана (табл. 2-4), при большом удалении, ψ =1. Численные значения поправочного коэффициента ψ в зависимости от отношения диаметров жилы по изоляции (d1) к диаметру жилы (d) приведены в табл. 2–5.

Таблица 2-4

Значения α и ψ для расчета рабочей емкости кабелей связи

Таблица 2-5

Численные значения коэффициента ψ для парной, четверочной и двойной парной скруток

Эквивалентное значение диэлектрической проницаемости слож­ной (комбинированной) изоляции определяют по соотношениям объемов составных ее частей. При непрерывной и одинаковой по длине изоляции соотношение объемов можно заменить соотноше­нием площадей поперечного сечения. Для комбинированной двух­слойной изоляции

Для изоляции комбинированной в радиальном направлении

Для изоляции комбинированной в тангенциальном направлении

Значения диэлектрической проницаемости основных электроизо­ляционных кабельных материалов и комбинированной изоляции при­ведены в табл. 2–6. Величина емкости кабеля мало изменяется в за­висимости от частоты (рис. 2-1).

← Предыдущая | Следующая →

Емкость кабеля

Если к двум проводникам приложить напряжение, то на них появятся равные по количеству, но разные по знаку заряды. Величина этих зарядов пропорциональна напряжению между проводниками:

Отношение заряда, внесенного на проводник, к потенциалу, до которого зарядился проводник, под действием этого заряда, называется электрической емкостью:

Практическая единица емкости — фарада — очень большая величина, и поэтому обычно емкость измеряют в микрофарадах (10- 6 ф), нанофарадах (10- 9 ф) и пикофарадах (10- 12 ф) или в абсолютной системе единиц — в сантиметрах

Емкость цилиндрического конденсатора (каким является электрический кабель в металлической оболочке) с радиусами электродов (внутреннего г и внешнего R) и длиной l

т. е. емкость конденсатора данных геометрических размеров и формы прямо пропорциональна ε диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость ε нейтральных изоляционных материалов не зависит от частоты и слабо зависит от температуры, уменьшаясь при уменьшении последней вследствие теплового расширения вещества. У дипольных изоляционных материалов при повышении частоты переменного напряжения величина ε сначала также остается неизменной, но начиная с некоторой критической частоты, когда поляризация уже не успевает полностью установиться за один полупериод, ε начинает уменьшаться, приближаясь при весьма высоких частотах к значениям, характерным для нейтральных изоляционных материалов. В области низких температур, когда вещество обладает большой вязкостью, ориентация дипольных молекул вдоль поля затруднена; при повышении температуры и уменьшении вязкости возможность ориентации диполей облегчается, вследствие чего ε возрастает. При сравнительно высоких температурах вследствие усиления тепловых колебаний молекул степень ориентации молекул снижается, что приводит к уменьшению ε.

Поле заряженного провода (жилы) вызывает перераспределение зарядов на всех соседних с ним проводах. Потенциал заряженного провода обусловлен зарядом этого провода и зарядами, индуцированных им на других проводах. Определение емкости провода в зависимости от формы и расположения смежных с ним проводов связано со значительными математическими трудностями. Поэтому обычно пользуются для расчетов приближенными формулами.

Эквивалентное значение диэлектрической проницаемости сложной (комбинированной) изоляции определяют по соотношению объемов составных ее частей. При непрерывной и одинаковой по длине изоляции соотношение объемов можно заменить соотношением площадей поперечного сечения. Для комбинированной двухслойной изоляции

Для двухслойной изоляции, комбинированной в радиальном направлении, эквивалентные значения

радиочастотные кабели (рис. 1-2),

Емкость радиочастотного коаксиального кабеля с многопроволочным внутренним проводником

где — коэффициент, учитывающий форму внешнего проводника и представляющий собой отношение емкости кабеля при внешнем проводнике в форме оплетки к емкости кабеля с внешним проводником в форме сплошной трубы; d э — эквивалентный диаметр, мм.

Емкость жилы двухжильного кабеля в общей металлической оболочке или экране

Если обе жилы находятся под одним и.тем же потенциалом, то

Емкость двухжильного кабеля в общей металлической Оболочке или экране может быть определена из частичных емкостей (см. рис. 1-1) по формуле

где С 1 — емкость между жилой А и жилой В, соединенным с экраном; С 2 — емкость жил А и В, соединенных вместе по отношению к экрану; l — длина кабеля, м.

Емкость неэкранированного двухжильного (симметричного) кабеля

Рабочая емкость жилы трехжильного кабеля (рис. 1-1)

Емкость трехжильного кабеля с секторными жилами может быть приближенно определена по указанным формулам с заменой секторных жил круглыми, но с сечением, условно увеличенным на 50% при той же толщине, изоляции.

При включении или выключении постоянного напряжения или вообще при изменениях величины приложенного напряжения возникает емкостный ток. Длительно емкостный ток существует только в изоляции, находящейся под воздействием переменного напряжения. Ток проводимости существует все время, пока к изоляции приложено напряжение постоянного тока.

Емкостное сопротивление — это сопротивление, которое оказывает переменному току конденсатор:

Произведение CR является постоянной времени саморазряда конденсатора; она равна времени, в течение которого напряжение на конденсаторе уменьшается в е = 2,718 … раз:

Электрическая емкость

Сообщим электрический заряд некоторому проводнику.

При этом проводник приобретает электрический потенциал, что можно наблюдать, соединив этот проводник с электроскопом. При увеличении электрического заряда на проводнике увеличивается и его электрический потенциал. Это видно по тому, что листочки электроскопа отклоняются на больший угол.

Способность проводника накоплять электрические заряды, повышая при этом свой электрический потенциал, называется электрической емкостью.

Математически электрическая емкость С представляет собой коэффициент пропорциональности между электрическим зарядом проводника и его электрическим потенциалом.

Отсюда

при U=1,С=q

При электрическом потенциале проводника, равном единице, электрический заряд на нем численно равен его электрической емкости.Таким образом, электрическая емкость проводника численно равна электрическому заряду, изменяющему электрический потенциал этого проводника на единицу измерения потенциала.

Единицей электрической емкости является фарада.

Проводник обладает емкостью в одну фараду если изменение заряда на нем на один кулон (1Кл) изменяет его потенциал на один вольт (1В).

Фарада очень крупная единица; даже такой большой проводник, как наша планета Земля имеет емкость 6,4*10-4 фарады. В практике приходится иметь дело со значительно меньшими емкостями.

1 фарада = 106 микрофарад (мкФ) = 109 нанофарад (нФ) = 1012 пикофарад (пФ).

1 микрофарада (мкФ) = 1000 нФ = 1000000 пФ

1 нанофарада (нФ) = 1000 пФ

Рассмотрим, от каких факторов зависит емкость проводников.

1. Сообщим одинаковые по величине электрические заряды двум металлическим шарам различных размеров. При этом электрический потенциал меньшего шара будет большим по величине, а электрический потенциал большего шара будет меньшим. Применим для этого случая формулу C=q/U. Электрические заряды (т.е. числители) в обоих случаях одинаковы, а электрические потенциалы различны. Следовательно, меньший шар, электрический потенциал которого (знаменатель в формуле) больше, обладает меньшей емкостью, а больший шар – большей емкостью.

проводника зависит от его поверхности: чем больше поверхность проводника, тем больше его электрическая емкость

проводника не зависит от его массы и материала. Возьмем три шара одинаковых размеров: полый медный, сплошной медный и сплошной алюминиевый – их электрические емкости одинаковы по величине.

2. проводника зависит от диэлектрика, в котором находится проводник.

Под действием заряженного проводника в диэлектрике происходит поляризация, Поляризационные заряды, по знаку противоположные заряду проводника, притягиваются к проводнику. Эти заряды частично связывают электрические заряды на проводнике, т. е. частично нейтрализуют их действие. В результате электрический потенциал проводника уменьшается, хотя накопленный на нем электрический заряд остался без изменений. Из формулы C=q/U следует, что при этом увеличивается емкость.

Известно, что величина поляризации диэлектрика характеризуется его диэлектрической проницаемостью ε. Следовательно, емкость проводника зависит от диэлектрической проницаемости диэлектрика, в котором этот проводник находится. Пусть например, емкость проводника в вакууме (или в воздухе) равна Cвак.. Если теперь этот же проводник поместить в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то емкость проводника будет равна: С=Свак.ε.

3. Емкость проводника зависит от наличия вблизи него других проводников.

В результате электростатической индукции под действием заряженного проводника на расположенном вблизи нейтральном проводнике происходит разделение электрических зарядов. При этом на стороне, ближайшей к заряженному проводнику, сосредотачиваются заряды, по знаку противоположные зарядам на этом проводнике. Эти заряды связывают и частично нейтрализуют заряды исследуемого проводника. В результате уменьшается его электрический потенциал при неизменном электрическом заряде на нем. Это значит, что увеличилась электрическая емкость проводника. Чем ближе от исследуемого проводника находятся другие проводники, тем больше будет связанных зарядов и сильнее их действие на исследуемый проводник, значит тем больше емкость этого проводника.

Приведем несколько примеров.

Одно проводная линия связи обладает электрической емкостью, как и всякий проводник, Величина этой емкости зависит от расстояния от провода до земли, которая является вторым проводником, Емкость такой линии невелика, так как это расстояние довольно значительно, а диэлектриком является воздух, характеризующийся малой диэлектрической проницаемостью.Значительно больше емкость двухпроводной линии связи, так как расстояние между проводами во много раз меньше, чем расстояние от каждого провода до земли. Во много раз больше емкость между жилами в электрических кабеля. Это объясняется очень малым расстоянием между жилами кабеля, а также применением между жилами изоляции с большей диэлектрической проницаемостью. Электрические емкости между проводниками в аппаратуре связи оказывают большое влияние на работу этой аппаратуры.

Электрическая емкость проводника зависит от его поверхности: чем больше поверхность проводника, тем больше его электрическая емкость

Электрическая емкость проводника не зависит от его массы и материала. Возьмем три шара одинаковых размеров: полый медный, сплошной медный и сплошной алюминиевый — их электрические емкости одинаковы по величине.

2. Электрическая емкость проводника зависит от диэлектрика, в котором находится проводник.

Под действием заряженного проводника в диэлектрике происходит поляризация, Поляризационные заряды, по знаку противоположные заряду проводника, притягиваются к проводнику. Эти заряды частично связывают электрические заряды на проводнике, т. е. частично нейтрализуют их действие. В результате электрический потенциал проводника уменьшается, хотя накопленный на нем электрический заряд остался без изменений. Из формулы C=q/U следует, что при этом увеличивается емкость.

Известно, что величина поляризации диэлектрика характеризуется его диэлектрической проницаемостью ε. Следовательно, емкость проводника зависит от диэлектрической проницаемости диэлектрика, в котором этот проводник находится. Пусть например, емкость проводника в вакууме (или в воздухе) равна Cвак.. Если теперь этот же проводник поместить в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то емкость проводника будет равна: С=Свак.ε.

3. Емкость проводника зависит от наличия вблизи него других проводников.

В результате электростатической индукции под действием заряженного проводника на расположенном вблизи нейтральном проводнике происходит разделение электрических зарядов. При этом на стороне, ближайшей к заряженному проводнику, сосредотачиваются заряды, по знаку противоположные зарядам на этом проводнике. Эти заряды связывают и частично нейтрализуют заряды исследуемого проводника. В результате уменьшается его электрический потенциал при неизменном электрическом заряде на нем. Это значит, что увеличилась электрическая емкость проводника.Чем ближе от исследуемого проводника находятся другие проводники, тем больше будет связанных зарядов и сильнее их действие на исследуемый проводник, значит тем больше емкость этого проводника.

Приведем несколько примеров.

Одно проводная линия связи обладает электрической емкостью, как и всякий проводник, Величина этой емкости зависит от расстояния от провода до земли, которая является вторым проводником, Емкость такой линии невелика, так как это расстояние довольно значительно, а диэлектриком является воздух, характеризующийся малой диэлектрической проницаемостью.Значительно больше емкость двухпроводной линии связи, так как расстояние между проводами во много раз меньше, чем расстояние от каждого провода до земли. Во много раз больше емкость между жилами в электрических кабеля. Это объясняется очень малым расстоянием между жилами кабеля, а также применением между жилами изоляции с большей диэлектрической проницаемостью. Электрические емкости между проводниками в аппаратуре связи оказывают большое влияние на работу этой аппаратуры.

Энергию можно накапливать, поднимая груз (часы-ходики с кукушкой), закручивая пружину (обычные механические часы), сжимая газ (пневматическое оружие).

Энергию можно также накапливать в виде электростатического поля. Для этого служат устройства, называемые конденсаторами. В самом грубом приближении любой конденсатор — это пара проводников (обкладок), между которыми создается некая разность потенциалов Dj. Способность конденсатора накапливать энергию в форме электростатического поля характеризуется величиной его емкости. Сам этот термин восходит к временам, когда бытовало представление об электрической жидкости. Представим себе сосуд, который мы наполняем такой жидкостью. Ее уровень (перепад высот между дном сосуда и поверхностью жидкости) соответствует разности потенциалов Dj., до которой заряжается конденсатор. А количество жидкости в сосуде соответствует заряду q, сообщаемому конденсатору. В зависимости от формы сосуда при том же уровне (разности потенциалов) в него войдет больше или меньше жидкости (зарядов). Отношение

и называется емкостью конденсатора.

Плоский конденсатор. Идеальный плоский конденсатор представляет собой две металлические параллельные пластины, линейные размеры которых много больше расстояния d между ними. Пусть площадь каждой из пластин равна S (рис. 2.12).

На одну пластину помещен заряд (+q), на другую — (-q). Если пластины достаточно велики, то их можно считать «бесконечными» в том смысле, что допустимо пренебречь краевыми эффектами, то есть распределениями зарядов и конфигурациями полей вблизи их краев. Тогда заряды распределяются по внутренним поверхностям пластин практически равномерно, с постоянной плотностью

Разность потенциалов между обкладками равна интегралу от напряженности поля, взятому по любому пути между ними

(2.10)

Поле, создаваемое двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями, является однородным, и его напряженность равна

Напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, можно считать равной нулю, если пренебречь краевыми эффектами. Интегрируя вдоль одной из силовых линий (которые ортогональны пластинам), получаем

Отсюда находим емкость плоского конденсатора

Цилиндрический конденсатор. Цилиндрический конденсатор представляет собой два коаксиальных длинных проводящих цилиндра радиусами R1 иR2 (R1<R2) и длиной l. Предполагая, что l>>R2, мы и в этом случае пренебрегаем краевыми эффектами. Линейная плотность заряда на цилиндрах равна t=q/l. Ранее мы уже вывели выражение для электрического поля длинного заряженного цилиндра (см. 1.17)

Электрическое поле направлено по радиусу цилиндров. Интегрируя по этому пути от одной обкладки к другой, находим разность потенциалов между обкладками

(2.13)
Отсюда следует выражение для емкости цилиндрического конденсатора (2.14)

В случае, когда зазор между обкладками d=R2-R1<<R1, можно использовать первый член разложения логарифма в ряд Тейлора

что приводит к выражению

(2.15)

В скобках стоит произведение длины окружности цилиндра на его высоту, что равно площади поверхности цилиндра (площади обкладок). Таким образом, мы воспроизвели в этом пределе выражение (2.12) для емкости плоского конденсатора.

Сферический конденсатор. Сферический конденсатор образуется двумя концентрическими сферами радиусами R1 и R2 (R1<R2). Интегрируя вдоль радиуса уже хорошо знакомое выражение

получаем разность потенциалов между обкладками (2.16)
откуда получаем выражение для емкости сферического конденсатора (2.17)

Если внешний радиус бесконечно велик (физически это значит, что R2>>R1), то вычитаемым в знаменателе можно пренебречь, и мы приходим к формуле (2.9) для емкости уединенной сферы

В обратном случае, когда зазор между обкладками d=R2-R1<<R1, можно положить в числителе

Замечая, что

есть площадь обкладок, мы снова приходим к формуле

30. Проводники. Поведение проводника во внешнем электрическом поле.

При расчете электрических полей зарядов с различной диэлектрической проницаемостью происходит скачек на границе раздела двух сред (см. рис. 18.1). Это вносит определенные трудности при расчете полей.

Для устранения такого недостатка целесообразно ввести другую физическую величину пропорциональную напряженности электрического поля, но не зависящую от диэлектрических свойств среды. Такой величиной является вектор электрического смещения или вектор электростатической индукции.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *