Действующие значение напряжения

Переменный ток

Господа, в прошлой статье мы говорили про мощность и работу переменного тока. Напомню, что тогда мы считали ее через некоторый интеграл, а в самом конце статьи я вскользь сказал, что существуют способы облечения и без того нелегкой жизни и часто можно обойтись вообще без взятия интеграла, если знать про действующее значение тока. Сегодня про него и поговорим!

Господа, вероятно, для вас не станет секретом, что в природе существует большое число видов переменного тока: синусоидальный, прямоугольный, треугольный и так далее. И как их вообще можно сравнивать между собой? По форме? Хмм…Пожалуй, да. Они же визуально различаются, с этим не поспоришь. По частоте? Тоже да, но иногда это вызывает вопросы. Некоторые считают, что само определение частоты применимо исключительно для синусоидального сигнала и его нельзя использовать, например, для последовательности импульсов. Возможно, формально они и правы, но я не разделяю их точку зрения. А еще как еще можно? А, например, по деньгам! Неожиданно? Напрасно. Ток ведь стоит денег. Вернее, стоит денег работа тока. В конце концов ведь те самые киловатт·часы, за которые вы все платите каждый месяц по счетчику не что иное, как работа тока. А поскольку деньги вещь серьезная, то ради такого стоит и термин отдельный ввести. И для сравнения между собой токов различной формы по количеству работы ввели понятие действующего тока.

Итак, действующее (или среднеквадратичное) значение переменного тока – это такая величина некоторого постоянного тока, который за время, равное периоду переменного тока выделит столько же тепла на резисторе, что и наш переменный ток. Звучит очень хитро и, скорее всего, если вы читаете это определение в первый раз, то вряд ли вы его поймете. Это нормально. Когда я его в первый раз услышал в школе, я сам долго доходил, что же это значит. Поэтому сейчас я постараюсь разобрать это определение поподробнее, чтобы вы поняли, что за этой мудреной фразой скрывается быстрее, чем я в свое время.

Итак, у нас есть переменный ток. Допустим, синусоидальный. У него своя амплитуда Аm и период Tпериод (ну или частота f). На фазу в данном случае пофиг, считаем ее равной нулю. Этот переменный ток течет через некоторый резистор R и на этом резисторе выделяется энергия. За один период Tпериод нашего синусоидального тока выделится вполне определенное количество джоулей энергии. Это число джоулей мы можем точно посчитать по формулам с интегралом, которые я приводил в прошлый раз. Допустим, мы насчитали, что за один период Tпериод синусоидального тока выделится Q джоулей тепла. А теперь, внимание, господа, важный момент! Давайте мы заменим переменный ток на постоянный, причем выберем его такой величины (ну то есть столько ампер), чтобы на том же самом резисторе R за то же самое время Tпериод выделилось ровно такое же количество джоулей Q. Очевидно, мы должны как-то определить величину этого самого постоянного тока, эквивалентного переменному с энергетической точки зрения. И вот когда мы найдем эту величину, то она-то как раз и будет тем самым действующим значением переменного тока. А теперь, господа, вернитесь еще разок к тому мудреному формальному определению, которое я давал вначале. Сейчас оно стало лучше понятно, не так ли?

Итак, суть вопроса, надеюсь, стала понятной, поэтому давайте все сказанное выше переведем на язык математики. Как мы уже писали в прошлой статье, закон изменения мощности переменного тока равен

Количество выделившейся энергии при работе тока за время Tпериод – соответственно, равно интегралу за время периода Tпериод:

Господа, теперь нам надо взять этот интеграл. Если по причине нелюбви к математике вам это кажется чем-то слишком мудреным, вы волне можете пропустить выкладки и посмотреть сразу результат. А у меня что-то сегодня настроение вспомнить молодость и аккуратненько разобраться со всеми этими интегральчиками .

Итак, как его нам брать? Ну, величины Im2 и R являются константами и их можно сразу вынести за знак интеграла. А для квадрата синуса нам надо применить формулу понижения степени из курса тригонометрии. Надеюсь, вы ее помните . А если нет, то напомню еще раз:

Погнали считать!

Теперь давайте разобьем интеграл на два интеграла. Можно воспользоваться тем, что интеграл от суммы или разности равен сумме или разности интегралов. В принципе, это очень даже логично, если вспомнить про то, что интеграл – это площадь.

Итак, имеем

Господа, у меня есть для вас просто отличнейшая новость. Второй интеграл равен нулю!

Почему это так? Да просто потому, что интеграл любого синуса/косинуса на величине, кратной его периоду, равен нулю. Полезнейшее свойство, кстати! Рекомендую его запомнить. Геометрически это тоже понятно: первая полуволна синуса идет выше оси абсцисс и интеграл от нее больше нуля, а вторая полуволна идет ниже оси абсцисс, поэтому его величина меньше нуля. А по модулю они равны между собой, поэтому их сложение (собственно, интеграл за весь период) даст в итоге нолик.

Итак, отбрасывая интеграл с косинусом, получаем

Ну и не надо быть большим гуру математики, чтобы сказать, что этот интеграл равен

И, таким образом, получаем ответ

Это мы получили количество джоулей, которое выделится на резисторе R при протекании через него синусоидального тока амплитудой Im в течении периода Tпериод. Теперь, чтобы найти чему в данном случае равен действующий ток нам надо исходить из того, что на том же самом резисторе R за то же самое время Tпериод выделится то же самое количество энергии Q. Поэтому мы можем записать

Если не совсем понятно, откуда здесь взялась левая часть, рекомендую вам повторить статью про закон Джоуля-Ленца. А мы тем временем выразим действующее значение тока Iдейств. из этого выражения, предварительно сократив все, что можно

Вот такой вот результат, господа. Действующее значение переменного синусоидального тока в корень из двух раз меньше его амплитудного значения. Хорошо запомните этот результат, это важный вывод.

Вообще говоря никто не мешает по аналогии с током ввести действующее значение напряжения. При этом у нас зависимость мощности от времени примет вот такой вид

Именно его мы будем подставлять под интеграл и выполнять все преобразования. Господа, каждый из вас может на досуге при желании это проделать, я же просто приведу конечный результат, поскольку он полностью аналогичен случаю с током. Итак, действующее значение напряжения синусоидального тока равно

Как видим, аналогия полнейшая. Действующее значения напряжения точно также в корень из двух раз меньше амплитуды.

Подобным образом можно рассчитать действующее значение тока и напряжения для сигнала абсолютно любой формы: надо только лишь записать закон изменения мощности для этого сигнала и выполнить пошагово все вышеописанные преобразования.

Все вы, наверняка, слышали, что у нас в розетках напряжение 220 В. А каких вольт? У нас ведь теперь есть два термина – амплитудное и действующее значение. Так вот, оказывается, что 220 В в розетках – это действующее значение! Вольтметры и амперметры, включаемые в цепи переменного тока показывают именно действующие значения. А форму сигнала вообще и его амплитуду в частности можно посмотреть с помощью осциллографа. Ну, мы же уже говорили, что всем интересны деньги, то бишь работа тока, а не какая-то там непонятная амплитуда. Тем не менее давайте-ка все-таки определим, чему равна амплитуда напряжения в наших с вами сетях. Пользуясь только что написанной формулой, можно записать

Отсюда получаем

Вот так вот, господа. В розетках у нас, оказывается, синус с амплитудой аж 311 В, а не 220, как можно было подумать сначала. Что бы убрать все сомнения представлю вам картинку, как выглядит закон изменения напряжения в наших розетках (помним, что частота сети равна 50 Гц или, что тоже самое, период равен 20 мс). Этот закон представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Закон изменения напряжения в розетках

И специально для вас, господа, я посмотрел напряжение в розетке с помощью осциллографа. Смотрел я его через делитель напряжения 1:5. То есть форма сигнала полностью сохранится, а амплитуда сигнала на экране осциллографа будет в пять раз меньше, чем на самом деле в розетке. Зачем я так сделал? Да просто потому, что из-за большого размаха входного напряжения картинка целиком не влезает на экран осциллографа.

ВНИМАНИЕ! Если у вас нет достаточного опыта работы с высоким напряжением, если вы абсолютно четко не представляете себе как могут течь токи при измерениях в гальванически не отвязанных от сети цепях, настоятельно не рекомендую проводить подобный эксперимент самостоятельно, это опасно! Дело в том, что при подобных измерениях с помощью осциллографа, подключенного к розетке с заземлением есть очень большой шанс что произойдет короткое замыкание через внутренние земли осциллографа и прибор сгорит без возможности восстановления! А если делать эти измерения с помощью осциллографа, подключенного к розетке без заземления, на его корпусе, кабелях и разъемах может присутствовать смертельно опасный потенциал! Это не шутки, господа, если нет понимания, почему это так, лучше этого не делать, тем более, что осциллограммы уже сняты и вы можете их наблюдать на рисунке 2.

Рисунок 2 – Осциллограмма напряжения в розетке (делитель 1:5)

На рисунке 2 мы видим, что амплитуда синуса составляет около 62 вольт, а частота – ровно 50 Гц. Помня, что мы смотрим через делитель напряжения, который делит входное напряжение на 5, мы можем рассчитать реальную величину напряжения в розетке, она равна

Как мы видим, результат измерения очень близок к теоретическому, не смотря на погрешность измерения осциллографа и неидеальность резисторов делителя напряжения. Это свидетельствует о том, что все наши расчеты верны.

На этом на сегодня все, господа. Сегодня мы узнали, что такое действующий ток и действующее напряжение, научились их рассчитывать и проверили результаты расчетов на практике. Спасибо что прочитали это и до новых статей!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Действующее значение в типичных случаях

Приведены формулы для электрического тока. Аналогичным образом определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоида

Синусоида, меандр, треугольная и пилообразная волны

Для синусоидального тока:

I = 1 2 ⋅ I m ≈ 0,707 ⋅ I m , {\displaystyle I={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot I_{m}\approx 0{,}707\cdot I_{m},}

где

I m {\displaystyle I_{m}} — амплитудное значение тока.

Прямоугольная форма

Для тока, имеющего форму однополярного прямоугольного импульса, действующее значение тока зависит от скважности:

I = I m D , {\displaystyle I=I_{m}{\sqrt {D}},}

где

D {\displaystyle D} — коэффициент заполнения (величина, обратная скважности).

В частности, для тока, имеющего форму однополярного меандра (коэффициент заполнения 0,5):

I = I m 0 , 5 ≈ 0 , 707 ⋅ I m . {\displaystyle I=I_{m}{\sqrt {0,5}}\approx 0,707\cdot I_{m}.}

Для тока, имеющего форму двухполярного меандра:

I = I m . {\displaystyle I=I_{m}.}

Треугольная форма

Для тока треугольной и пилообразной формы (независимо от того, меняется ли направление тока):

I = 1 3 ⋅ I m ≈ 0,577 ⋅ I m . {\displaystyle I={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot I_{m}\approx 0{,}577\cdot I_{m}.}

Трапециевидная форма

Для тока трапециевидной формы действующее значение можно определить разбив период на отрезки положительного фронта, действия максимального значения и отрицательного фронта:

I = I m t 1 + 3 t 2 + t 3 3 T , {\displaystyle I=I_{m}{\sqrt {\frac {t_{1}+3t_{2}+t_{3}}{3T}}},}

где

t 1 {\displaystyle t_{1}} — длительность положительного фронта; t 2 {\displaystyle t_{2}} — длительность действия максимального значения; t 3 {\displaystyle t_{3}} — длительность отрицательного фронта; T {\displaystyle T} — длительность полного периода.

Дугообразная форма

Для тока имеющего форму дуги (половины окружности):

I = I m 2 3 ≈ 0,816 ⋅ I m . {\displaystyle I=I_{m}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\approx 0{,}816\cdot I_{m}.}

Основные характеристики гармонических токов и напряжений

На практике широкое распространение получил переменный ток.

Рисунок 1 а, б — Примеры периодических токов

Переменный ток — это ток, значение которого изменяется с течением времени.

Периодический ток — это переменный ток, мгновенное значение которого повторяется через равные промежутки времени. (рис. 1 а, б)

Период электрического тока — наименьший интервал времени, по истечении которого значение периодического электрического тока повторяется. Период измеряется в секундах (с). Для периодического тока можно записать:

ток напряжение закон сопротивление

где К — произвольное целое число.

На рисунках 3.1 представлены временные диаграммы тока, т.е. графики зависимости тока от времени.

Частота периодического тока (циклическая) — есть величина, обратная периоду, и характеризующая число периодов в секунду, т.е. скорость завершения полных циклов изменений мгновенных значений периодического тока:

Частота измеряется в герцах (Гц)

Разновидность периодических прочесов, происходящих в радиотехнических цепях, являются гармонические процессы.

Синусоидальным (гармоническим ) током называется ток, изменяющийся по синусоидальному или косинусоидальному закону:

(3.1)

Традиционно в электротехнической литературе используют синусную форму записи гармонического тока(напряжения), а в радиотехнической — косинусную. Обе формы записи являются равноценными, отличаются только началом отсчёта значений и их можно проиллюстрировать одной и той же кривой (рис. 2).

Рисунок 2 а, б, в — График гармонического тока и напряжения.

Приведём величины, характеризующие синусоидальный ток:

— амплитуда — наибольшее значение гармонического тока (только для гармонического, в остальных случаях пиковое значение). Её размерность совпадает с размерностью i(t).

г(t)=(щt+шi) — мгновенная фаза (фаза) — аргумент функции i(t);

щ — угловая частота — скорость измерения фазы, выражается в радианах в секунду (рад/с)

Т — период — наименьший временной интервал повторения периодического синусоидального сигнала, т.е. следовательно, , откуда период:

f — циклическая частота — число периодов в секунду, т.е..

Ток промышленной частоты соответствует f = 50 Гц, а =314 рад/с.

— начальная фаза тока определяет значение фазы при t=0 (часть её для удобства записывают в градусах). Она определяет положение ближайшего положительного максимума( в косинусной форме записи) относительно оси координат (рис 2);

при >0 этот максимум будет смещён влево от оси ординат на величину .

разность фаз, или сдвиг по фазе двух синусоидальных функций одинаковой частоты — разность их начальных. Так, если , а , то сдвигом по фазе между током и напряжением называется угол .

Если , то (рис 3.2.б), тогда максимум напряжения наступает раньше, чем максимум тока. В этом случае говорят, что ток отстаёт по фазе на угол от напряжения или напряжение опережает по фазе ток на угол .

Если , то, тогда максимум тока наступает раньше, чем максимум напряжения. В этом случае говорят, что ток опережает напряжение на угол или напряжение отстаёт по фазе на угол от тока.

При имеем , тогда ток и напряжение совпадают по фазе.

Токи и напряжения цепи, изменяющиеся по гармоническому или другому периодическому закону характеризуются средними за период, средневыпрямленными и действующими.

Среднее значение периодического тока за период определяется выражением:

(3.2)

Для гармонически изменяющихся токов и напряжений среднее значение за период равно нулю, так как площадь, ограниченная полуволной и осью времени, равна площади, ограниченной отрицательной полуволной и осью времени. (рис. 3)

Рисунок 3 — К определению понятия среднего значения периодического тока

Средневыпрямленное значение периодического тока или напряжения называется среднее значение модуля соответствующей периодической функции за период:

Значение пропорционально площади, ограниченной частью кривой и осью времени за период Т, и не зависит от выбора начального момента

Рисунок 4 — К определению понятия средневыпрямленного значения гармонического тока

Средневыпрямлённое значение гармонического тока или напряжения равно среднему значению соответствующей гармонической функции на положительном полупериоде. (см. рис. 4)

(3.3)

Среднее значение за полупериод гармонического тока равно высоте прямоугольника с основанием , площадь которого равна площади под кривой сигнала

Рисунок 5 — К определению понятия действующего значения синусоидального тока

Очень важной характеристикой периодических токов и напряжений являются действующее, или эффективное значение. Действующим значением периодического тока называется среднеквадратическое значение тока за секунду.

(3.4)

Действующее значение I периодического тока i(t)численно равно значению постоянного тока I, при протекании которого за время Т выделяется такое же количество энергии, как и при протекании тока i(t)

Покажем это. Пусть при протекании периодического тока i(t) через линейное сопротивление R в нём в соответствии с выражением (3.4) и законом Джоуля-Ленца за период Т выделяется энергия

(3.5)

Выражение (3.5) совпадает с выражением для энергии, выделяющейся в сопротивлении при протекании через него постоянного тока I_=I в течении времени Т (закон Джоуля-Ленца):

Аналогично можно определить и действующее значение U периодического напряжения и (t).

(3.6)

Действующее значение I гармонического тока i(t) в раз меньше его амплитуды:

(2.7)

Поскольку большинство электроизмерительных приборов реагируют на действующие, а не на максимальные (пиковые)значения токов и напряжений, при описании гармонических и напряжений принято указывать действующее, а не амплитудное значение.

Выражая в (3.1) амплитуду через действующее значение I, ещё одну формулу записи гармонического тока:

(3.8)

В соответствии с ГОСТ 1494-77 обозначают:

мгновенное значение токов и напряжений ветвей, токов источников тока и ЭДС источников напряжения, являющихся гармоническими функциями времени — строчными буквами ;

действующее значение этих величин — соответствующими прописными буквами I, U, J, E

амплитудное значение — теми же прописными буквами с индексом m

Размерность средних, средневыпрямлённых и действующих значений гармонических токов и напряжений совпадают с размерностью соответствующих функций и, следовательно, с размерностью их амплитуд.

Среднее и действующие значения синусоидальных токов и напряжений

Переменный синусоидальный ток в течение периода имеет различные мгновенные значения. Естественно поставить вопрос, какое же значение тока будет измеряться амперметром, включенным в цепь?

При расчетах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений, а их средние значения за период равны нулю. Кроме того, об электрическом эффекте периодически изменяющегося тока (о количестве выделенной теплоты, о совершенной работе и т. д.) нельзя судить по амплитуде этого тока.

Наиболее удобным оказалось введение понятий так называемых действующих значений тока и напряжения. В основу этих понятий положено тепловое (или механическое) действие тока, не зависящее от его направления.

Действующее значение переменного тока — это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе.

Для оценки действия, производимого переменным током, мы сравним его действия с тепловым эффектом постоянного тока.

Мощность Р постоянного тока I, проходящего через сопротивление r, будет Р = Р2r.

Мощность переменного тока выразится как средний эффект мгновенной мощности I2r за целый период или среднее значение от (Im х sinωt)2 х rза то же время.

Пусть среднее значение t2 за период будет М. Приравнивая мощность постоянного тока и мощность при переменном токе, имеем: I2r = Mr, откуда I = √M,

Величина I называется действующим значением переменного тока.

Среднее значение i2 при переменном токе определим следующим образом.

Построим синусоидальную кривую изменения тока. Возведя в квадрат каждое мгновенное значение тока, получим кривую зависимости Р от времени.

Действующее значение переменного тока

Обе половины этой кривой лежат выше горизонтальной оси, так как отрицательные значения тока (-i) во второй половине периода, будучи возведены в квадрат, дают положительные величины.

Построим прямоугольник с основанием Т и площадью, равной площади, ограниченной кривой i2 и горизонтальной осью. Высота прямоугольника М будет соответствовать среднему значению Р за период. Это значение за период, вычисленное при помощи высшей математики, будет равно1/2I2m. Следовательно, М = 1/2I2m

Так как действующее значение I переменного тока равно I = √M, то окончательно I = Im / √2

Аналогично зависимость между действующим и амплитудным значениями для напряжения U и Е имеет вид:

U = Um / √2,E= Em / √2

Действующие значения переменных величин обозначаются прописными буквами без индексов (I, U, Е).

На основании сказанного выше можно сказать, что действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который, проходя через то же сопротивление, что и переменный ток, за то же время выделяет такое же количество энергии.

Электроизмерительные приборы (амперметры, вольтметры), включенные в цепь переменного тока, показывают действующие значения тока или напряжения.

При построении векторных диаграмм удобнее откладывать не амплитудные, а действующие значения векторов. Для этого длины векторов уменьшают в √2 раз. От этого расположение векторов на диаграмме не изменяется.

Действующее значение тока и напряжения

Переменный ток, протекая по проводнику, нагревает его так же, как и постоянный ток. Силу переменного тока удобно оценивать по его тепловому действию (эффекту) или, как го­ворят, по действующей, эффективной его величине.

Действующее или эффективное значение переменного тока рав­но силе такого постоянного тока, который, протекая по дан­ному проводнику, выделяет в нем ежесекундно то же количе­ство энергии в виде тепла, что и переменный ток.

Тепловой эффект тока, а значит, и действующие (эффективные) значения переменного тока зависят не только от наибольших значений, которых до­стигает переменный ток, но и от формы тока.

Вообще говоря, в электротехнике, и особенно в радиотехни­ке, приходится иметь дело с токами довольно сложной формы. Но все эти токи могут быть представлены в виде суммы не­скольких синусоидальных токов с различными частотами, ам­плитудами и начальными фазами. Поэтому очень важную роль играет связь между амплитудным и действующем значениями для синусоидального тока.

Если известна амплитуда переменного синусоидального то­ка, то действующее или эффективное его значение определяет­ся по формуле:

то есть эффективное значение синусоидального тока в раз меньше его амплитудного значения.

Аналогичная формула применяется и для вычисления эф­фективного значения синусоидального напряжения:

Протекая по проводнику, переменный ток создает в нем эффективное падение напряжения, равное произведению эф­фективного значения силы тока на сопротивление проводника, что эквивалентно закону Ома для постоянного тока, то есть:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *