Что такое потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма

Потенциальной диаграммой называется графическое изображение распределения электрического потенциала вдоль замкнутого контура в зависимости от сопротивления участков, входящих в выбранный контур.

Для построения потенциальной диаграммы выбирают замкнутый контур. Этот контур разбивают на участки таким образом, чтобы на участке находился один потребитель или источник энергии. Пограничные точки между участками необходимо обозначить буквами или цифрами.

Произвольно заземляют одну точку контура, её потенциал условно считается нулевым. Обходя контур по часовой стрелке от точки с нулевым потенциалом, определяют потенциал каждой последующей пограничной точки как алгебраической суммы потенциала предыдущей точки и изменения потенциала между этими соседними точками.

Изменение потенциала на участке зависит от состава цепи между точками. Если на участке включен потребитель энергии (резистор), то изменение потенциала численно равно падению напряжения на этом резисторе. Знак этого изменения определяют направлением тока. При совпадении направлений тока и обхода контура знак отрицательный, в противном случае он положительный.

Если на участке находится источник ЭДС, то изменение потенциала здесь численно равно величине ЭДС данного источника. При совпадении направления обхода контура и направления ЭДС изменение потенциала положительно, в противном случае оно отрицательно.

После расчета потенциалов всех точек строят в прямоугольной системе координат потенциальную диаграмму. На оси абсцисс откладывают в масштабе сопротивление участков в той последовательности, в которой они встречались при обходе контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Потенциальная диаграмма начинается с нулевого потенциала и заканчивается после обхода контура таковым.

Построение потенциальной диаграммы электрической цепи

В данном примере потенциальную диаграмму строим для первого контура цепи, схема которой изображена на рисунке 1.

Рис. 1. Схема сложной электрической цепи

В рассматриваемый контур входят два источника питания E1 и E2, а также два потребителя энергии r1, r2.

Разбиваем данный контур на участки, границы которых обозначаем буквами a, b, c, d. Заземляем точку а, условно считая её потенциал нулевым, и обходим контур по часовой стрелке от этой точки. Таким образом, φa = 0.

Следующей точкой на пути обхода контура будет точка b. На участке ab находится источник ЭДС Е1. Так как на данном участке мы идем от отрицательного полюса источника к положительному, то потенциал повышается на величину Е1:

φb = φa + E1 = 0 + 24 = 24 В

При переходе от точки b к точке c происходит уменьшение потенциала на величину падения напряжения на резисторе r1 (направление обхода контура совпадает с направлением тока в резисторе r1):

φс = φb — I1r1 = 24 — 3 х 4 = 12 В

При переходе к точке d потенциал возрастает на величину падения напряжения на резисторе r2 (на этом участке направление тока встречно направлению обхода контура):

φd = φc + I2r2 = 12 + 0 х 4 = 12 В

Потенциал точки а меньше потенциала точки d на величину ЭДС источника E2 (направление ЭДС встречно направлению обхода контура):

φa = φd — E2 = 12 — 12 = 0

Результаты расчета используют для построения потенциальной диаграммы. На оси абсцисс откладывают сопротивление участков в той последовательности, как они встречаются при обходе контура от точки с нулевым потенциалом. Вдоль оси ординат откладывают рассчитанные ранее потенциалы соответствующих точек (рисунок 2).

Рисунок 2. Потенциальная диаграмма контура

Алгоритм метода потенциалов

План транспортной задачи является оптимальным, если для всех свободных клеток таблицы перевозок значение критерия оптимальности dijijij=0, то этот оптимальный план перевозок не является единственным. Наконец, если имеются свободные клетки, для которых критерий оптимальности dij>0, то полученный план перевозок не является оптимальным. Алгоритм метода потенциалов состоит в следующем: каждому поставщику Ai ставится в соответствие некоторое число u, которое называется потенциалом Ai-того поставщика; каждому потребителю Bj ставится в соответствие некоторое число v, которое называется потенциалом Bj-того потребителя. Для каждой заполненной клетки, т. е. для каждой базисной переменной строится соотношение: ui+vj=cij Получаем систему с числом уравнений, равным количеству базисных переменных. Из этой системы определяем неизвестные потенциалы ui и vj, полагая ui=0. Для каждой незаполненной клетки, т. е. для каждой небазисной переменной, рассчитываются косвенные тарифы cij* по формуле: cij* = ui+vj. Затем полученный план проверяют на оптимальность по критерию оптимальности dij. Если для каждой незаполненной клетки выполняется условие: dijij*ij>0, то необходимо перейти к новому плану путем перемещения перевозки в клетку, отвечающую условию max(dij). Если таких клеток несколько, то выбирают любую из них.
Для правильного перемещения перевозок, чтобы не нарушить ограничения задачи, строят так называемый цикл, т. е. замкнутый многоугольник, соединяющий выбранную клетку с ней же самой и проходящий через заполненные клетки.
Цикл строится следующим образом: вычёркиваются (мысленно) все строки и столбцы, содержащие ровно одну заполненную клетку, при этом считается, что выбранная клетка без поставки является заполненной; все оставшиеся после вычеркивания клетки составляют цикл и лежат в его углах, они соединяются ломаной линией.

В каждую клетку цикла, начиная с незаполненной, поочередно вписывают знаки “+” и “-“. В клетках с отрицательными знаками выбирается минимальная величина поставки, обозначаемая как D. В те вершины, которые имеют знак “+” прибавляется поставка D, а в вершинах со знаком “-“ поставки уменьшаются на величину D. При этом суммы поставок по строкам и столбцам не изменяются. В результате клетка, для которой строился цикл, станет занятой, а в одной из бывших занятых клеток окажется нулевая поставка и её надо объявить свободной. Общее количество заполненных клеток не изменится, следовательно, новый план перевозок является невырожденным.
Если в результате пересчета одновременно в нескольких ранее занятых клетках цикла поставки примут нулевые значения, то свободной объявляется лишь одна из них. Остальные считаются условно занятыми с нулевыми поставками.
Значения переменных, включенных в цикл, после пересчета переносятся в новую таблицу без изменений. Полученный новый план проверяется на оптимальность.
Такое улучшение плана можно проводить неоднократно до тех пор пока все критерии для незаполненных клеток окажутся dijПример. Используя метод потенциалов, составьте план перевозок однородного от пунктов производства к пунктам потребления, при котором суммарные транспортные расходы будут минимальными.

Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой

Проведем преобразование «треугольника» bcd, соответствующего схеме электрической цепи, в эквивалентную «звезду». Исходный треугольник образован сопротивлениями R4, R5, R6. При преобразовании обязательно сохраняется условие эквивалентности схем, т.е. токи в проводах, проходящих к преобразуемой схеме, и напряжения между узлами не меняют своих величин.

При преобразовании «треугольника» в «звезду» используем расчетные формулы:

Ом; (1.8)

Ом; (1.9)

Ом. (1.10)

В результате преобразования исходная схема упрощается .

В преобразованной схеме только три ветви и соответственно три тока I1, I2, I3. Для расчета этих токов достаточно иметь систему трех уравнений, составленных по законам Кирхгофа:

(1.11)

При составлении уравнений направление тока и обхода контуров выбирается так же, как и в трехконтурной схеме.

Составляем и решаем систему:

(1.12)

Решив матрицу, получим неизвестные значения токов I1, I2, I3:

I1 = 1,297 А;

I2 = -1,376 А;

I3 = 0,079 А.

Подстановкой полученных значений токов в уравнения, составленные для трехконтурной схемы, определим остальные токи I4, I5, I6:

I4 = 0,23 А;

I5 = 0,151 А;

I6 = -1,146 А.

Измерение потенциалов точек электрической цепи и построение потенциальной диаграммы

любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1.

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, — один из основных расчетных приемов. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономичным, чем метод контурных токов.

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 2, в которой три узла. Если узел 3 мысленно заземлить, т. е. принять =0, то необходимо определить потенциалы только двух узлов:,.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов, причем токи, направленные к узлу берем со знаком минус, а от узла – со знаком плюс.

Для первого узла ,

Для второго узла .

Рис. 2. Схема для расчета по методу узловых потенциалов

Запишем токи по закону Ома:

, , , , , .

Подставим токи в уравнения по первому закону Кирхгофа:

,

Перепишем уравнения:

,

,

,

, где , , , ,

, ,

G11- сумма проводимостей ветвей, сходящихся в первом узле,

G12- сумма проводимостей ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,

G21- сумма проводимостей ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,

G11- сумма проводимостей ветвей, сходящихся во втором узле,

I11- узловой ток первого узла,

I22 — узловой ток второго узла.

Запишем уравнения в матричной форме:

,

, , .

Решим эти уравнения относительно искомых потенциалов и выразим токи ветвей, используя закон Ома.

После нахождения токов ветвей любым методом всегда делается проверка по первому закону Кирхгофа.

Потенциальная диаграмма.

Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, по оси ординат – потенциалы. Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме. Построим потенциальную диаграмму для контура на рис.3. Пусть R1=10 Ом, R2=5 Ом, R3=15 Ом, E1=20 В, E2=10 В, I=1A.

Рис.3. Контур для построения потенциальной диаграммы

,

,

,

,

,

Построим график.

Рис. 4. Потенциальная диаграмма для контура на рис.3.

Схема

Рис.

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

В

В

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Порядок выполнения работы:

1. Нарисовать схему. Записать данные.

2. Найти токи ветвей методом контурных токов.

3. Сделать проверку по первому закону Кирхгофа.

4. Найти токи ветвей методом узловых потенциалов.

5. Рассчитанные токи занести в таблицу 2.

Таблица 2

I1,A

I2,A

I3,A

I4,A

I5,A

I6,A

расчет

эксперимент

6. Составить баланс мощностей.

7. Потенциалы точек отмеченных на схеме занести в таблицу 3.

Таблица 3

A, B

B, B

C, B

D, B

F, B

расчет

эксперимент

8. Собрать схему в программе Electronics Workbench.

9. Измерить токи во всех ветвях. Для чего в каждую ветвь включить амперметр. Результаты измерений занести в таблицу 2.

10. Заземлить узел, который заземляли при расчете по методу узловых потенциалов.

11. Измерить потенциалы точек, отмеченных на схеме. Результаты занести в таблицу 3.

12. Построить потенциальную диаграмму заданного контура.

13. Сравнить измеренные данные с расчетными.

14. Сделать вывод.

1. Тема, цель, приборы и оборудование.

2. Схема заданной цепи. Исходные данные.

3. Расчет по методу контурных токов и методу узловых потенциалов.

4. Заполненная таблица 2.

5. Проверка по первому закону Кирхгофа.

6. Баланс мощностей.

7. Заполненная таблица 3.

8. Токи ветвей и потенциалы узлов цепи, измеренные в программе Electronics Workbench .

9. Потенциальная диаграмма.

10. Вывод.

Вопросы на защиту:

1. Суть метода контурных токов.

2. Суть метода узловых потенциалов.

3. Какой используется закон Кирхгофа для составления уравнений по методу контурных токов? Сформулировать его.

4. Какой используется закон Кирхгофа для составления уравнений по методу узловых потенциалов? Сформулировать его.

5. Как называется сопротивление R11? Как оно находится?

6. Как называется сопротивление R12? Как оно находится?

7. Что такое Е11 в матричной записи уравнений по методу контурных токов?

8. Как находится собственная проводимость узла по методу узловых потенциалов?

9. Матричная форма записи уравнений по методу узловых потенциалов.

10. Как строится потенциальная диаграмма контура сложной цепи

РАСЧЕТ ПОТЕНЦИАЛОВ ТОЧЕК ЦЕПИ

Чтобы найти ток в цепи с несколькими источниками надо:

1) Сложить все Е, направленные в одну сторону;

2) Вычесть все Е, направленные в другую сторону

3) Разделить на сумму всех сопротивлений цепи

Ток течет в сторону большей суммы Е.

Пусть Е1 > Е2, тогда

Если ток и ЭДС совпадают по направлению, то источник работает в режиме генератора, если нет, то в режиме потребителя.

Е1 — генератор; Е2 — потребитель

Потенциалом точки цепи называется напряжение между данной точкой и заземлённой.

φ0 = 0

При переходе через источник в режиме генератора потенциал повышается на величину ЭДС минус падение напряжения внутри источника.

φА = φ0 + Е1 — I∙Ri1

При переходе через резистор потенциал понижается на величину падения напряжений в нём:

φВ = φА — I∙R

При переходе через источник в режиме потребителя потенциал понижается на величину ЭДС и на величину падения напряжения внутри источника.

φ0 = φB — E2 — I∙Ri2

Потенциальная диаграмма — это график зависимости потенциалов точек цепи от величины сопротивления цепи.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на конкретном примере. Одну точку цепи заземляем. Расставляем точки вдоль направления тока. При расчете снова должен получиться равным нулю

Пример решения задачи:

Дано:

Е1 = 25 B

Е2 = 35 В

Е3 = 18 В

Ri1 = 2 Ом

Ri2 = 1 Ом

Ri3 =2 Ом

R1 = 12 Ом

R2 = 5 Ом

R3 = 14 Ом

R4 = 6 Ом

1) Рассчитаем ток в цепи и определяем его направление:

2) Рассчитаем потенциалы точек:

φ0 = 0

φ1 = φ0 — I∙R1 = 0 — 12 = -12 B

φ2 = φ1 + Е1 — I∙Ri1 = -12 + 25 — 2 = 11 B

φ3 = φ2 — I∙R2 = 11 — 5 = 6 B

φ4 = φ3 + E2 — I∙Ri2 = 6 + 35 — 1 = 40 B

φ5 = φ4 — E3 — I∙Ri3 = 40 — 18 — 2 = 20 B

φ6 = φ5 — I∙R3 = 20 — 14 = 6 B

φ0 = φ6 — I∙R4 = 6 — 6 = 0

Вывод: При переходе через резистор потенциал понижается плавно, через источник в режиме генератора резко увеличивается, а в режиме потребителя резко уменьшается.

Тестовые задания:

Задание Варианты ответов
1.Являются ли напряжение между данной точкой цепи и заземленной потенциалом точки этой цепи? Да; Нет.
2. Источник работает в режиме генератора если… а) ЭДС и ток направлены в разные стороны; б) ЭДС и ток направлены в одну сторону.


РАБОТА ИСТОЧНИКА НА НАГРУЗКУ С ПЕРЕМЕННЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ.

Построение зависимостей I, U, η = F(R).

Пусть сопротивление нагрузки изменяется от Rкз=0 до Rxx= . Рассмотрим величину тока в трех режимах короткое замыкание, холостой ход и согласованный режим.

1) Iкз = =

2) Iхх =

3)

Вывод 1: с ростом величины сопротивления ток в цепи уменьшается;

Вывод 2: ток максимальный в режиме короткого замыкания;

Рассмотрим величину напряжения в трех режимах

1) Uкз =

2)

3)

Вывод 1: с ростом величины сопротивления напряжение на зажимах источника растет;

Вывод 2: напряжение максимально в режиме Х.Х.

Рассмотрим величину К.П.Д. в трех режимах

Вывод: η стремиться к 1 в режиме Х.Х., но использовать на практике этот режим невозможно, так как цепь разомкнута.

Построение зависимостей Pu, Pн = F(R)

Рассмотрим величину мощности источника в трех режимах

Pu = E∙I = E∙

Вывод: мощность источника максимальна в режиме короткого замыкания.

Рассмотрим величину мощности нагрузки в трех режимах

Исследуя функцию Pн = f(R) на экстремум доказано, что максимальная мощность выделяется в нагрузке при согласованном режиме. Поэтому линии связи и другие устройства работают в этом режиме. И хотя η = 50%, но в слаботочных цепях это не имеет значения.

Тестовые задания:

Задание Режим работы Варианты ответов
4.Укажите при каких режимах работы перечисленные в ответах величины максимальны. 1) режим холостого хода; 2) режим короткого замыкания; 3) согласованный режим. а) мощность источника; б) ток цепи; в) мощность нагрузки напряжение на зажимах источника.

Распределение потенциала в электрической цепи. Потенциальная диаграмма

При расчёте электрических цепей часто возникает неопределимость в определении разности потенциалов между отдельными точками цепи и распределения потенциала цепи.

Для решения этой задачи вначале необходимо рассчитать токи в ветвях цепи.

Далее потенциал одной из точек цепи (любой), например, точки на рис. 1.19, принимается равным нулю ( иногда на схеме эту точку показывают заземлённой, рис. 1.19а) и рассчитываются потенциалы всех характерных точек, выбранных для построения потенциальной диаграммы контура а,1,в,с,d,2,a.

Рис.1.19

(1.1.47)

Определив Rz= R1+ R1+ R4+ R3 и, выбрав масштабы Mφ=Mr, строится потенциальная диаграмма ( рис. 1.19б).

Таким образом, под потенциальной диаграммой понимается график распределения потенциала φ вдоль элементов замкнутого контура электрической цепи в зависимости от величины суммарного от » базовой» точки «а» до каждой последующей точки этого контура в выбранном (указанном) направлении обхода контура.

Если обход производится по ветвям, состоящим из нескольких последовательно соединённых элементов, то между каждой парой этих элементовуказывается делительная точка и её потенциал наносится на диаграмму.

Вертикальные участки диаграммы соединяют на диаграмме точками, между которыми в схеме находятся идеальные источники эдс.

Потенциал φа=φ2-Е3 должен получиться равным нулю (возрастает в исходную точку контура), т.е.последнее выражение в (1.47) является проверочным.

Потенциальная диаграмма позволяет определить напряжение между любыми точками цепи (потенциалы которых нанесены на диаграмму). Кроме того можно определить в схеме наличие точек одинакового потенциала, которые в случае необходимости можно соединить между собой без нарушения распределения токов в схеме замещения электрической цепи. Знание местоположения точек с максимальным значением потенциала позволяет установить требования на качество изоляции.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *