666 в двоичной системе

Восьмеричная система счисления

Основание восьмеричной системы счисления равно 8 (p=8) определяет число цифр входящих в данную систему счисления: {0,1,2,3,4,5,6,7} восемь цифр. Восьмеричная система счисления, так же как и десятичная является позиционной. Формула разложения по степени основания числа записанного в восьмеричной системе счисления имеет следующий вид:

где:

— значение числа в восьмеричной системе счисления;

q – количество разрядов числа записанного в восьмеричной системе счисления.

I – номер разряда;

— значение i-го разряда числа записанного в восьмеричной системе счисления.

Так для четырехразрядного числа, записанного в двоичной системе счисления формула разложения по степени основания будет иметь следующий вид:

Восьмеричная система счисления.

Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16 (p=16) определяет число цифр входящих в данную систему счисления: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} шестнадцать цифр. Поскольку в алфавит шестнадцатеричной системы счисления входит больше дести цифр, определенных для десятичной системы счисления, остальные цифры обозначаются буквами латинского алфавита. Шестнадцатеричная система счисления, так же как и десятичная является позиционной. Формула разложения по степени основания числа записанного в шестнадцатеричной системе счисления имеет следующий вид:

где:

— значение числа в шестнадцатеричной системе счисления;

q – количество разрядов числа записанного в шестнадцатеричной системе счисления.

I – номер разряда;

— значение i-го разряда числа записанного в шестнадцатеричной системе счисления.

Так для четырехразрядного числа, записанного в шестнадцатеричной системе счисления формула разложения по степени основания будет иметь следующий вид:

Взаимосвязь систем счисления используемых в вычислительной технике.

Двоичная система счисления, используемая элементами вычислительной техники имеет один недостаток – это громоздкость записи. Для того, чтобы записать число 255(10) требуется целых восемь разрядов 11111111(2). Для уменьшения разрядности при записи информации требовалось разработать системы счисления, в которые было бы легко переводить информацию из двоичной системы счисления, и при этом запись была бы менее громоздкой. Сначала была разработана восьмеричная система счисления, в которой тоже самое число 255(10) представлялось в виде 377(8), а затем шестнадцатеричная, это же число в которой имеет вид FF(16). Перевод между этими системами счисления можно осуществлять при помощи таблицы 2.


На этом шаге мы рассмотрим перевод чисел между системами счисления 2 – 8 – 16. .

Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и, кроме того, она плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств и пр. используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.

Двоичная система счисления имеет основанием 2 и, соответственно, 2 цифры: 0 и 1.

Восьмеричная система счисления имеет основание 8 и цифры 0, 1, …, 7.

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и цифры 0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F. При этом знак A является 16-ричной цифрой, соответствующей числу 10 в десятичной системе; B16 = 1110; C16 = 1210; D16 = 1310; E16 = 1410; F16 = 1510. Другими словами, в данном случае A … F — это не буквы латинского алфавита, а цифры 16-ричной системы счисления и поэтому они имеют только такое начертание (не могут быть представлены в виде, например, соответствующих строчных букв, как в текстах).

Пользуясь алгоритмами, сформулированными в предыдущих разделах, можно заполнить таблицу:

Таблица 1. Представление числе в разных системах счисления

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Докажем две теоремы.

Теорема 1. Для преобразования целого числа ZpZq в том случае, если системы счисления связаны соотношением q = pr, где r — целое число большее 1, достаточно Zp разбить справа налево на группы по r цифр и каждую из них независимо перевести в систему q. Доказательство. Пусть максимальный показатель степени в записи числа p по форме (1) равен k-1, причем, 2r>k-1>r.

Zp = (ak-1…a1a0)p = ak-1·pk-1 + ak-2·pk-2 + ……+ aj·pj +…+ a1·p1 + a0·p0

Вынесем множитель pr из всех слагаемых, у которых jr. Получим:

Zp = (ak-1·pk-1-r + ak-2·pk-2-r +… + ar·p0)·pr + (ar-1·pr-1 +… + a0·p0)·p0 = b1·q1 + b0·q0, где

b1 = ak-1·pk-1-r + … + ar·p0 = (ak-1…ar )p

b0 = ar-1·pr-1 +… + a0·p0 = (ar-1…a0)p

Таким образом, r-разрядные числа системы с основанием p оказываются записанными как цифры системы с основанием q. Этот результат можно обобщить на ситуацию произвольного k-1>r — в этом случае выделится не две, а больше (m) цифр числа с основанием q. Очевидно, Zq = (bm … b0 )q.

Пример 6. Выполнить преобразование Z2 = 1100012Z8.

Исходное число разбивается на группы по три разряда справа налево (8 = 23, следовательно, r = 3) и каждая тройка в соответствии с таблицей 1 переводится в 8-ричную систему счисления независимо от остальных троек:

Следовательно, 1100012 = 618 . Аналогично, разбивая Z2 на группы по 4 двоичные цифры и дополняя старшую группу незначащими нулями слева, получим 1100012= 3116.

Теорема 2. Для преобразования целого числа ZpZq в том случае, если системы счисления связаны соотношением p = qr, где r — целое число большее 1, достаточно каждую цифру Zp заменить соответствующим r-разрядным числом в системе счисления q, дополняя его при необходимости незначащими нулями слева до группы в r цифр. Доказательство. Пусть исходное число содержит две цифры, т.е.

Zp = (a1a0)p = a1·p1 + a0·p0.

Для каждой цифры справедливо: 0ai p-1 и поскольку p = qr, 0ai qr -1, то в представлении этих цифр в системе счисления q максимальная степень многочленов (1) будет не более r — 1 и эти многочлены будут содержать по r цифр:

a1 = br-1(1)·qr-1+br-2(1)·qr-2+…+0(1)·q0

a0 = br-1(0)·qr-1+br-2(0)·qr-2+…+0(0)·q0

Тогда:

Zp = (a1a0)p = (br-1(1)·qr-1+…+b0(1)·q0)·qr+(br-1(0)·qr-1+…+b0(0)·q0)·q0 =
= br-1(1)·q2r-1+…+b0(1 )·qr+br-1(0)·qr-1+…+b0(0)·q0 = (br-1(1)…b0(0))q = Zq

причем, число Zq содержит 2r цифр. Доказательство легко обобщается на случай произвольного количества цифр в числе Zp.

Пример 7. Выполнить преобразование D316Z2.

Переходы Z8 Z16 и Z16 Z8, очевидно, удобнее осуществлять через промежуточный переход к двоичной системе. Например, 1238 = 0010100112 = 5316.

На следующем шаге мы рассмотрим преобразование нормализованных чисел.

Предыдущий шаг

Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2n) Двоичная система

Двоичная система счисления
Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления.
В компьютере используют двоичную систему счисления для составления информации, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами счисления:

  • для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (а не с десятью, как в десятичной системе счисления);
  • широко используется в оперативной памяти компьютера;
  • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
  • возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
  • двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы счисления — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел, т.е. длинные коды. Но в технике легче иметь дело с большим числом простых элементов, чем с небольшим количеством сложных.
Итак, в компьютере наиболее подходящей и надёжной является двоичная С.С., кроме того, для работы с памятью компьютера оказалось удобным использовать представление информации с помощью ещё двух С.С.: 8 – ричной и 16 – ричной. Существует ли между ними какая – либо связь? Да. Существуют способы перевода чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2n).
Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2n
Для облегчения решения задач заполним следующую таблицу:
Числа систем счисления с основанием q = 2n, где n = 1, 3, 4 и десятичной системой счисление.

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 А
11 1011 13 В
12 1100 14 С
13 1101 15 D
14 1110 16 Е
15 1111 17 F

Алгоритм перевода целых двоичных чисел с систему счисления с основанием q = 2n

  1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n в каждой.
  2. Если в левой последней группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
  3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.

(согласно уравнению N = 2i, 8 = 2i, т.к. 8 = 23, то I = 3, каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации)
Пример 1
Перевести число 11001010011010101112 в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число на группы по три цифры — триады (т.к. q = 8, 8 = 2n, n = 3) слева направо и, пользуясь таблицей, записываем соответствующее восьмеричное число.

001 100 101 001 101 010 111
1 4 5 1 5 2 7

Дополняем.
Получаем: 1451278.
(согласно уравнению N = 2i, 16 = 2i, т.к. 16 = 24, то I = 4, каждый разряд 16 — ричного числа содержит 4 бита информации)
Пример 2
Перевести число 11001010011010101112 в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем число на группы по четыре цифры — тетрады (квадры) (т.к. q = 16, 16 = 2n, n = 4) слева направо и, пользуясь таблицей, записываем соответствующее шестнадцатеричное число.

0110 0101 0011 0101 0111
6 5 3 5 7

Дополняем.
Получаем: 6535716.
Алгоритм перевода дробных двоичных чисел с систему счисления с основанием q = 2n

  1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n в каждой.
  1. Если в правой последней группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.
  2. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.

Пример 3
Перевести число 0,110110111010 в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число на группы по три цифры — триады (т.к. q = 8, 8 = 2n, n = 3) слева направо. Пользуясь таблицей, записываем соответствующее восьмеричное число.

110 110 111 010
6 6 7 2


Получаем: 0,66728.
Пример 4
Перевести число 0,110110111010 в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем число на группы по четыре цифры — тетрады (т.к. q = 16, 16 = 2n, n = 4) справа налево. Пользуясь таблицей, записываем соответствующее шестнадцатеричное число.

1101 1011 1010
D В А


Получаем: 0,DBA16.
Алгоритм перевода произвольных двоичных чисел с систему счисления с основанием q = 2n

  1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.
  2. Если в левой последней и/или правой группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов.
  3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.

Пример 5
Перевести число 10110,000111011 в восьмеричную систему счисления.
Разобьем левую и правую части числа на триады и под каждой из них запишем соответствующее число.

010 110 000 111 011
2 6 0 7 3

Получилось: 26,0738.
Пример 6
Перевести число 10110,000111011 в шестнадцатеричную систему счисления.
Разобьем левую и правую части числа на тетрады и под каждой из них запишем соответствующее число.

0001 0110 0001 1101 1000
1 6 1 D 8

Получилось: 16,1D816.
Перевод чисел из систем счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления
Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 7
Перевести число 34AD3,01916 в двоичную систему счисления.

3 4 А D 3, 0 1 9
0011 0100 1010 1101 0011 0000 0001 1001

Получилось: 110100101011010011,0000000110012
Решение задач:
№1 Переведите двоичные числа:
101011011; 1111110011; 100000001110 в восьмеричную систему счисления
11110111011; 101010101; 111111 в шестнадцатеричную систему счисления
№2 Переведите двоичные числа:
0,111011011; 0,000110101; 0,0101010111 — в восьмеричную систему счисления
0,00110011; 0,11100011101; 0,011011011 — в шестнадцатеричную систему счисления
№3 Переведите двоичные числа:
101010,11101; 100010,011101; 1111000000,101 — в восьмеричную систему
101111,01100; 100000111,001110; 101010,0010 — в шестнадцатеричную систему счисления
№4 Переведите восьмеричные числа в двоичную систему счисления:
276; 0,635; 25,024
265; 0,111; 201,302
№5 Переведите шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:
1АС7; 0,3С1; F4A,CC
CCAF; 0,AAA; DDBB,A
№6 Переведите числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную:
А54; 21E,7F; 0,FD
C25,F9; 12А; 0,ABCD
№7 Переведите числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную:
777; 0,1234; 654,765
344; 0,7612; 333,222
Самостоятельная работа:
Переведите следующие числа:

Системы счисления. Позиционная система счисления десятичная.

Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в

виде позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел

позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали

называть арабской.

Позиционная система счисления — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.

Примеры, стандартная 10-я система счисления – это позиционная система. Допустим дано число 453.

Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50,

а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение. Таким

образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Десятичная система счисления.

Здесь 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, однако информативная нагрузка не лишь у цифры, но и у места,

на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Первая цифра числа справа указывает на единицы, вторая

справа — число десятков, дальше — число сотен и так далее.

Пример:

33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Десятичная позиционная система счисления является наиболее распространенной из всех систем. Конкретно ею мы

пользуемся, называя цену товара или номер автобуса. Во всех разрядах (позициях) можно использовать лишь одну цифру

от 0 до 9. Основание позиционной системы счисления – это число 10.

Какими преимуществами и недостатками обладает двоичная система счисления по сравнению с десятичной?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *