1 закон коммутации

Законы коммутации.

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию цепи соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном нолях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что, учитывая выражение (1.5), возможно, только если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т.е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем, что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени.

Следовательно, возникновение переходных процессов при переходе электрической цепи от одного установившегося состояния к другому связано с тем, что энергия, запасенная реактивными элементами цепи, не может изменяться скачком, а изменяется только плавно, т.е. с конечной скоростью.

Отсюда следует, что в резистивной цепи (в цепи, не содержащей реактивных элементов) процесс перехода от одного установившегося состояния к другому должен происходить мгновенно. Таким образом, переходные процессы в безреак- тивных цепях отсутствуют. Очевидно, что такие цепи можно рассматривать только в качестве очень упрощенных моделей реальных цепей, поэтому в любой реальной цепи переход от одного установившегося режима к другому всегда сопровождается переходными процессами.

Как известно, энергия, запасенная реактивными элементами цепи, определяется токами индуктивностей и напряжениями емкостей. Исходя из того, что запасенная энергия является непрерывной функцией времени, приходим к заключению о непрерывности во времени токов индуктивностей и напряжений емкостей. Этот вывод имеет исключительно важное значение в теории цепей и формулируется в виде законов (правил) коммутации.

Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей, напряжений индуктивностей и токов или напряжений сопротивлений, которые могут изменяться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.

Как известно, в теории цепей рассматриваются процессы, имеющие место в идеализированных цепях при идеализированных внешних воздействиях. Применение чрезмерно упрощенных моделей элементов цепей и внешних воздействий может привести к нарушению предпосылок, использованных при формулировании законов коммутации, и вследствие этого к нарушению самих законов. Так, представляют интерес случаи, когда идеализированные источники энергии в течение бесконечно короткого промежутка времени могут отдавать бесконечно большой ток или напряжение, т.е. развивать бесконечно большую мощность. При таких внешних воздействиях законы коммутации нарушаются, и токи индуктивностей или напряжения емкостей изменяются скачкообразно (см. п. 6.5).

Законы коммутации могут не выполняться и при некоторых коммутациях, затрагивающих ветви, содержащие реактивные элементы. Коммутации такого типа называются некорректными. Анализ процессов в цепях при некорректных коммутациях производят с использованием принципов непрерывности потокосцепления и электрического заряда, которые имеют более общий характер, чем законы коммутации: алгебраическая сумма потокосцеплений индуктивностей в любом замкнутом контуре электрической цепи и алгебраическая сумма зарядов емкостей, подключенных к любому узлу электрической цепи, являются непрерывными функциями времени

Следует подчеркнуть, что некорректность коммутации возникает вследствие излишне упрощенного рассмотрения процесса коммутации или в результате применения чрезмерно упрощенных моделей элементов и может быть устранена при более строгом анализе.

Таким образом, термин «некорректная коммутация» является не вполне удачным: правильнее говорить не о некорректной коммутации, а о некорректной постановке задачи коммутации.

Пример 6.1. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от гальванического элемента. Если использовать последовательные схемы замещения конденсатора и источника энергии (рис. 6.1, а), то переключение ключа S из положения 1 в положение 2 (или наоборот) является корректной коммутацией.

Действительно, пусть в исходном состоянии ключ находится в положении 1 и емкость С полностью разряжена, а в момент времени t = 0 ключ перебрасывается в положение 2. Если бы в результате коммутации напряжение на емкости возросло скачком, то в соответствии с компонентным уравнением емко-

Рис. 6.1. К примеру 6.1

сти (1.13) ток цепи достиг бы бесконечно большого значения, а это привело бы к тому, что левая часть уравнения баланса напряжений для цепи, получающейся после коммутации, ис+ (Rc + Rj)i — Е} не равнялась бы правой части.

Таким образом, предположение о том, что в цени нарушается второй закон коммутации, приводит к явно неправильному результату. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации напряжение па емкости сохраняет то же значение, что и в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации: мс+) = мс{0_) = 0, а затем плавно увеличивается, стремясь в пределе к новому установившемуся значению, равному ЭДС источника напряжения (в установившемся режиме ток через емкость равен нулю, и из уравнения баланса напряжений следует, что uq = Е).

Если в исходном состоянии ключ находится в положении 2, а емкость С заряжена до напряжения Е, то при перебросе ключа в положение 1 напряжение на емкости в начальный момент времени после коммутации сохраняет значение, которое было в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, напряжение на сопротивлении /?? изменяется скачком и становится равным -ис(0+)= -Е, а ток сопротивления скачком возрастает до значения -i’c(0+) = -E/Rc. Затем напряжение и ток емкости плавно уменьшаются, стремясь к нулю.

Если упростить схему замещения конденсатора и исключить из нее сопротивление потерь Rc. (рис. 6.1, б), то перевод ключа из положения 1 в положение 2 будет по-прежнему оставаться корректной коммутацией, в то время как перевод ключа из положения 2 в положение 1 станет некорректной коммутацией (некорректность коммутации объясняется тем, что рассматриваемая схема замещения цепи не учитывает потерь энергии в конденсаторе и соединительных проводах, а также энергию, выделяющуюся вместе с искрой между контактами ключа. В зависимости от требуемой точности анализа необходимо либо принять, что напряжение на емкости скачком изменилось от ис(О-) = Е до нуля, либо применить более сложную схему замещения конденсатора, ключа и соединительных проводников).

Если и далее упрощать схему замещения цепи (исключив из нее внутреннее сопротивление источника /?,) (рис. 6.1, в), то перевод ключа из одного положения в другое всегда будет представлять собой некорректную коммутацию.

Пример 6.2. Рассмотрим идеализированную цепь (рис. 6.2). Пусть в исходном состоянии ключ S находится в положении 1, ток через индуктивность имеет постоянное значение iLi(0_) =

= E/R, а ток индуктивности L2 — ii2{0_) = 0.

Рис. 6.2. К примеру 6.2

Если в момент времени t = 0 ключ S перебросить из положения 1 в положение 2, то индуктивности L{ и L2 окажутся включенными последовательно и их токи должны мгновенно уравняться (для соблюдения баланса токов). Очевидно, что такая коммутация некорректна, причем начальное значение тока индуктивностей гД (0+) = ii2(0.)) = iL(0+) после коммутации может быть определено из принципа непрерывности потокосцепле- ния: L{iLl(0+) + L2iL2(0+) = (L{ + L2)iL{0+) = L{iLl(0_)y откуда

При анализе такой цени обычно принимается, что токи индуктивностей L и Ь2 скачком изменяются до уровня iL (0+), а затем плавно увеличиваются (начиная с этого уровня) до установившегося значения ii = E/R.

Нетрудно убедиться, что энергия данной цепи непосредственно после коммутации

меньше энергии, запасенной в индуктивности L до коммутации:

причем разность между этими величинами равна энергии коммутационных потерь, т.е. потерь, связанных с образованием дуги или искры между контактами. Рассмотренная коммутация может быть сделана корректной, если при анализе принять во внимание конечное время коммутации, применить более точные модели индуктивных катушек, содержащие не только сопротивления потерь, но и паразитные емкости, и учесть явления, имеющие место в дуге между контактами. Разумеется, учет этих явлений существенно усложняет анализ.

Общий подход к анализу переходных процессов. Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжении всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти общее решение основной системы уравнений электрического равновесия цепи или системы уравнений электрического равновесия, составленной любым другим способом, при t > 0. Исключая из системы уравнений все неизвестные величины, кроме одной, получают дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно этой величины. Таким образом, задача анализа переходных процессов может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при t > 0. В частности, задача анализа переходных процессов в линейной инвариантной во времени цепи с сосредоточенными параметрами v-ro порядка сводится к нахождению общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения v-ro порядка вида (1.46).

Общее решение такого уравнения содержит v произвольных постоянных, для нахождения которых необходимо задать значения искомой функции s и ее v — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации, т.е. при t = 0+. Эти величины определяют с помощью законов коммутации на основании анализа процессов, имеющих место в цени перед коммутацией. В результате анализа цепи до коммутации рассчитывают токи всех индуктивностей и напряжения всех емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации. Далее, используя законы коммутации (в более общем случае — принципы непрерывности потокосцепления и электрического заряда), находят токи индуктивностей и напряжения емкостей в начальный момент времени после коммутации. Очевидно, что для определения v начальных условий требуется применить законы коммутации к v независимо включенным реактивным элементам, т.е. ко всем реактивным элементам, включенным таким образом, что их энергетическое состояние может быть задано независимо. Совокупность начальных значений токов независимо включенных индуктивностей и напряжений независимо включенных емкостей представляет собой независимые начальные условия цепи. Используя независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации, находят зависимые начальные условия, т.е. значения токов и напряжений любых ветвей и их производные в момент времени t = 0+.

Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, равна нулю, то цепь анализируется при нулевых начальных условиях. Если начальный запас энергии не равен нулю, то цепь анализируется при ненулевых начальных условиях (в первом случае все независимые начальные условия равны нулю, во втором — хотя бы одно из них имеет ненулевое значение).

Следует обратить внимание на то, что независимые начальные условия, а следовательноу токи и напряжения ветвей цепи после коммутации определяются исходя из энергетического состояния цепи только в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (С = 0 ), и не зависят от характера процессов, имеющих место в цепи до коммутации (при t 0).

Определение порядка сложности цепи. В некоторых случаях порядок сложности электрической цепи желательно выяснить еще до составления уравнений электрического равновесия. Очевидно, что значение v не может превышать общего числа реактивных элементов цепи р/с.

Если в цепи имеется емкостный контур, т.е. контур, образованный только емкостями или емкостями и независимыми источниками напряжения, то напряжение любой из емкостей такого контура может быть выражено через напряжения других емкостей с помощью уравнения баланса напряжений, составленного для данного емкостного контура. Таким образом, наличие в цепи емкостного контура уменьшает на единицу число независимо включенных емкостей и снижает порядок сложности цепи. Частный случай емкостного контура представляют собой две параллельно включенные емкости, которые при определении порядка сложности цепи можно заменить одной эквивалентной емкостью. В то же время энергетическое состояние двух и более последовательно включенных емкостей, не входящих в емкостный контур, можно задать независимо, поэтому каждая из таких емкостей должна учитываться при подсчете v (см. пример 1.11).

Число независимо включенных реактивных элементов снижается и при наличии в цепи индуктивного сеченияу т.е. сечения, в которое входят только индуктивности или индуктивности и независимые источники тока. Частным случаем индуктивного сечения является индуктивный узел (узел, к которому подключены только индуктивности или индуктивности и независимые источники тока). Ток и энергия любой из индуктивностей у входящей в индуктивное сечение у могут быть выражены через токи других индуктивностей на основании уравнения баланса токов, составленного для данного сечения. Две последовательно включенные индуктивности образуют индуктивное сечение, поэтому при подсчете v их можно заменить одной.

Если в состав цени входит несколько емкостных контуров или индуктивных сечений, то при оценке числа независимо включенных реактивных элементов учитывают только независимые емкостные контуры и независимые индуктивные сечения, т.е. такие контуры и сечения, уравнения баланса напряжений и токов которых независимы.

Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения,

где pjjQ — число реактивных элементов; пек — число независимых емкостных контуров; quc — число независимых индуктивных сечений.

Следует отметить, что при определении порядка сложности цепи v не учитываются емкостные сечения и индуктивные контуры — топологические особенности такого типа не приводят к уменьшению числа независимо включенных реактивных элементов. Отметим также, что соотношение (6.4) получено в предположении, что компонентные уравнения элементов не вносят дополнительных зависимостей между напряжениями различных емкостей или токами различных индуктивностей. Это условие всегда выполняется для цепей, составленных из пассивных двухполюсных элементов и независимых источников тока или напряжения, однако оно может не выполняться для цепей, содержащих управляемые источники. В этом случае выражение (6.4) позволяет оценить только максимально возможное значение порядка сложности цепи.

Пример 6.3. Определим порядок сложности цепи, схема которой приведена на рис. 6.3.

Общее число реактивных элементов цепи pjc = 9, в цепи имеются два независимых емкостных контура {С, С3, е}у {С3, С4> и два независимых индуктивных сечения {Lf ?2″ Аз}» {Аз» ?4 As}* Порядок сложности цепи v = fic~ weK — яис= 9 — 2 — 2 = 5.

Рис. 63. К примеру 6.3

Законы коммутации

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация– это замыкание или размыкание коммутирующих приборов (рис. 4.3). В результате таких внезапных изменений па­раметров в электрической цепи происходит переход из энергети­ческого состояния, соответствующего докоммутационному ре­жиму, к энергетическому состоянию, соответствующему после­коммутационному режиму.

При анализе переходных процессов пользуются двумя законами (правилами) коммутации.

Первый закон коммутации: в любой ветви с катушкой ток и магнит­ный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться с этих значений.Иначе: ток через катушку не может измениться скачком. Этот за­кон можно записать в виде равенства

Для доказательства закона достаточно рассмотреть уравнение цепи (рис. 4.4), составленное по второму закону Кирхгофа

Если допустить, что ток в цепи изменяется скачком, то напряжение на ка­тушке будет равно бесконечности

Тогда в цепи не соблюдается закон Кирхгофа, что невозможно.

В случае нескольких цепей связанных взаимной индуктивностью, но не имеющих в каждой катушке магнитных потоков рассеяния, в момент

Рис. 4.4 коммутации общий магнитный поток не может измениться скачком, тогда как токи в каждой из этих цепей могут измениться скачком.

Второй закон коммутации: в любой ветви напряжение и за­ряд на конденсаторе сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, на­чиная с этих значений.

Иначе: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком

Для доказательства закона рассмотрим уравнение цепи (рис. 4.5) по второму закону Кирхгофа

Рис 4.4.

Если допустить, что напряжение на конденсаторе изменяется скачком, то про­изводная а второй закон Кирхгофа нарушается. Однако ток через конденсатор

может изменяться скачком, что не противоречит второму закону Кирхгофа.

С энергетической точки зрения невозможность скачка тока через катушку и напряжения на конденсаторе объясняются невозможностью мгновен­ного изменения запасенных в них энергии магнитного поля катушки Li2/2 и энер­гии электрического поля конденсатора Cu2/2. Для этого потребовалась бы беско­нечно большая мощность источника, что лишено физического смысла.

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

  1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
  2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
  3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
  4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
  5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

Резистор (идеальное активное сопротивление)

Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

;

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

Конденсатор (идеальная емкость)

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

. (1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

, (2)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

, (3)

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Название закона

Формулировка закона

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

и .

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

,

откуда

и .

Для известных значений и из уравнения

определяется .

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

,

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

,

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:

,

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Чем обусловлены переходные процессы?
  2. Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?
  3. Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?
  4. Доказать законы коммутации: и — с энергетических позиций.
  5. В каких цепях и почему возможен колебательный процесс?
  6. Определить величину токов и напряжений на конденсаторе и на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если .

Ответ:
;
.

Расчет переходного процесса производится на основании двух законов коммутации:

1. Ток через индуктивность непосредственно до коммутации равен току через ту же индуктивность непосредственно после коммутации, или ток на индуктивности не может изменяться скачком. .

Рассмотрим электрическую схему, приведенную на рис. 43.

ПоIIзакону Кирхгофа.

Пусть ток во время переходного процесса изменится скачком, т.е. за время ток изменится на конечную величину(). Величинабесконечно большая, а т.к., то.

По IIзакону Кирхгофа, аE– конечная величина, следовательно, не соблюдаетсяIIзакон Кирхгофа, и предположение о том, что ток, протекающий через индуктивность, может измениться скачком, неверно. Первый закон коммутации (ток, протекающий через индуктивность, скачком измениться не может) доказан.

2. Напряжение на емкости непосредственно до коммутации равно напряжению на той же емкости непосредственно после коммутации, или напряжение на емкости не может измениться скачком. UС(0-)=UС(0+).

Рассмотрим электрическую цепь рис. 44.

По IIзакону Кирхгофа.

Пусть во время переходного процесса падение напряжения на конденсаторе изменится скачком, т.е. за времяоно изменится на конечную величину(). Тогда- величина бесконечно большая,.

По IIзакону Кирхгофа. Т.к.Е– конечная величина, тоIIзакон Кирхгофа не соблюдается. Предположение неверно. Второй закон коммутации доказан.

Характеристическое уравнение электрической цепи

Характеристическое уравнение электрической цепи составляется для послекоммутационного режима и определяется конфигурацией схемы.

По схеме электрической цепи можно сразу определить степень характеристического уравнения – она равна числу независимых начальных условий (токов, протекающих через индуктивность, и напряжений на емкости) в послекоммутационной схеме и не зависит от вида источников ЭДС в цепи.

Мы будем рассматривать переходные процессы, возникающие в цепях постоянного тока, содержащих либо одну индуктивность, либо одну емкость.

Способов составления характеристического уравнения несколько, наиболее распространенный из которых основан на записи входного сопротивления цепи переменному току:

Записывается входное сопротивление переменному току электрической цепи после коммутации ;

Заменяется в нем наи полученное выражение приравнивается к нулю. Получается характеристическое уравнение;

Находятся корни этого характеристического уравнения p. =с-1.

В качестве примера составим характеристическое уравнение и найдем его корни для электрической цепи рис. 44.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *